Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
1) F(X1V, S1.....Sn-1).....xn(t, s1.....Sn-1),
*i.....Sn-1), р, (t, S1.....Sn-1).....pn(t, s1.....Sn-J))E=O,
OZ
2) P1 = -^-- (1=1, 2.....п), или, что то же самое,
п
i = \
Нетрудно проверить, что функция F (xv х2, ..., хп, z, P1, р2, ..., рп) является первым интегралом системы уравнений (5.59). Действительно,
тогда, интегрируя вспомогательную систему уравнений dxi dx2 _ dxn dz
18 л. Э. Эльсголыд
274 УРАВНЕНИЯ B ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
¦ Litxi dt dt ^ 1іҐ
"і dt = і = і / = і
п п п
=¦ Ъ V* + ^ 2 PiPPi - 1 fp, + P''^) - 0
I = I 1 = 1 1=1
и, следовательно, вдоль интегральных кривых системы (5.59) F(xv X2.....jf„. z, pv р2.....Pn) = C.
где с — постоянная, равная. F (xl0, X20.....jcn0, z0, р10, р20.....рп0).
Для того чтобы функции (5.60) удовлетворяли уравнению (5.56) вдоль интегральных кривых системы (5.59), надо выбрать начальные значения pi0, (sv S2.....sn-i) так' чтобы
^(X10(S1, sn_1), XnO1(S1, sn_x), Z(S1, .... Sn-1).
Pl(S1.......... Pn(S1.....S„_ ,)) = 0.
Остается проверить, что dz = 1 P1Ux1 или дг
1 = 1
п — 1 Il
¦dt
j=i 1=\ \ J=I ' 1
Это тождество эквивалентно следующим:
п
S Pi^W(5.62)
дг dt
іі~1р^^° с/=1-2....."-1)- (5-63>
1 = 1
Справедливость тождества (5.62) становится очевидной, если принять во внимание, что, в силу системы (5.59),
п
W=1IiPfPi и Чг-ррі с = 1- 2.....
(=1
/ dz dxi
I вместо -jj- и —jj- мы пишем частные производные, так как в системе (5.59) все Sj- предполагались фиксированными j.
вдоль интегральных кривых системы (5.59)
4tF^Xi-х*.....х"'z'Pv р2.....р^=
п п
dxt . р dz . dPi _
5 41 нелинейные уравнения первого порядка 275
Для доказательства тождеств (5.63), справедливых лишь при определенном выборе начальных значений pi0(sv s2, •... Sn-1), обозначим:
и, дифференцируя Uj по t, получим
dU) d2z yr^ O2Xi у dpi Ox1 IT^ dtdSf ~ 2аРі dtds/ ~ 2и~дТ ~dsj' ^5'64)
i = 0 /=о
Принимая во внимание результат дифференцирования тождества (5.62) по Sj
о2г у O2Xi У дРі — а dt dSj Zd Pl dt oSf Zd dSj dt *
/ = (! i ( = 0
можно переписать уравнение (5.64) в виде
dt ~ Zd isj dt ~ Zd dt ist"
/=о /=о
Воспользовавшись системой (5.59), получим
dUj у ар, у
/=1 /=1
_ у / дР dxt . c)F ^ \ dF dz dP l dz у ахЛ_ Zd \ dx, ds, ~*~ dp, ds< )~*~ dz ds, dz { ds, Zd Pi ds, 1 ~ <=i /=i '
Полная частная производная -^- [F] = 0, так как F = O, и следовательно, функции Uj являются решениями линейных однородных dUj
уравнений —=—FJJj, которые имеют единственное решение Uj==0, если Uj\t=Q = 0. Следовательно, если начальные значения Pt0(S1, S2.....Sn-1) (1=1, 2.....п) выбрать так. что Uj\t==0 = 0
м" (-?—2/'-?-) .-° и=и2.....'>'го
.18*
276
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ Я
и, следовательно, на поверхности (5.60) dz = ^ pt dxt, т. е. pt = -~
(/=1, 2.....п).
Итак, для нахождения
P(xv X2.....хп, z, pv
(п—1)-мерную поверхность
X10 = XI0 (sv s2, .,
2O = z0 (5I' S2> • •
1=1
интегральной поверхности уравнения р2, Pn) = 0, проходящей через
•• sn-l)
• V-1).
(/=1, 2.....п),
надо определить начальные значения pi0(sv s2.
F (х10, х20.
ьл0>
дві
¦ 2 ^
дх1а
0
:0
Z' PlO' P20' •
(7=1, 2,
., Sn-1) из уравнений
/>в0) = о,
., я— 1),
(5.65)
= X10 (S1, S2, ...
Sn-l)>
= z0 (5i' 52' • • • »
Sn-l).
(/=1, 2, ..
, n),
= Piu(Sl" S2' • • • •
*n~l)
*|
= X1 (t, S1, S2, . .
¦• Sn-l)
(/=1, 2, ..
., n),
(5.66)
z = z(t,
S1, s2, .
• • > sn-l)'
(5.67)
/>/
= Pi (t, S1, S2, . .
•> Sn-l)
(/=1, 2, .
., n).
после чего, интегрируя систему (5.59) (стр. 273) с начальными условиями:
получим:
Уравнения (5.66) и (5.67) являются параметрическими уравнениями искомой интегральной поверхности.
Замечание. Мы предполагали, что система уравнений (5.65) разрешима относительно pi0, а также, что система (5.59) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Пример 1. Найти интегральную поверхность уравнения z = pq, проходящую через прямую X = 1, z = у.
Запишем уравнение прямой х = 1, г = у в параметрической форме Xo = 1. Уо = s> 2o = S- Определяем ра (s) и q0 (s) из уравнений (5.65): s = paq0, 1 — q0 = 0, откуда р0 = s, q0 = 1. Интегрируем систему (5.59):
dx _ dy _ dz _ dp _ dq_ _ ^
2pq~~p q '
p = cxel, q = c2e{, х = сге1-\-съ, у = СіУ-т-с4, z = c&e2'-\-с&. Принимая во внимание, что при / = 0
X= 1 у = s, z = s, p=s, q = l,
получим
s se.
q = el,
¦ е', у = se', z ¦¦
¦¦ se'
§ 41 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 277
dt
откуда
dx\
dx2
dxn
dp,
дН
OH
дН
дН
Op1
дрг
дРп
дхх
dPi
_ dPn
dv
дН дх2
