Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
§ = Ф,(Л yv У2.....Уп) ('=1.2.....я) (4.1)
с начальными условиями Уі(і0) = Ую (1=1, 2..... я), которые
обычно являются результатами измерений и, следовательно, неизбежно получены с некоторой погрешностью, то естественно возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение.
Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то решение, определяемое выбранными нами неточными начальными данными, обычно не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не может описывать, изучаемое явление.
Следовательно, возникает важный для приложений вопрос о нахождении условий, при которых достаточно малое изменение начальных значений вызывает сколь угодно малое изменение решения.
204
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
Если t изменяется на конечном отрезке /0 ^ / ^ Т, то ответ на этот вопрос дает теорема о непрерывной зависимости решений от начальных значений (см. стр. 54). Если же t может принимать сколь угодно большие значения, то этим вопросом занимается теория устойчивости.
Решение ф; (Z) (/=1, 2, я) системы (4.1) называется устойчивым, или, точнее, устойчивым по Ляпунову, если для любого є > 0 можно подобрать 6(e) > 0 такое, что для всякого решения у, (t)
(/ = 1, 2.....п) той же системы, начальные значения которого
удовлетворяют неравенствам
| У, C0) —Ф, C0) І <б(є) C=I. 2.....п), -
для всех /^>/0 справедливы неравенства
І У/О — Ф/С)|<є (/=1.2.....я), ' (4.2)
т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех / /0.
Замечание. Если система (4.1) удовлетворяет условиям теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных значений, то в определении устойчивости вместо / ^>/0 можно писать t^-T^-t0, так как в силу этой теоремы на отрезке /0 ^ / ^ T решения остаются близкими при достаточно близких начальных значениях.
Если при сколь угодно малом O > 0 хотя бы для одного решения у і (t) (/=1, 2.....я) неравенства (4.2) не выполняются, то
решение (ft (/) называется неустойчивым. Неустойчивые решения лишь в редких случаях представляют интерес в практических задачах.
Если решение ф,(/) (/=1, 2.....я) не только устойчиво, но,
кроме того, удовлетворяет условию
Hm |у,(/) —Ф,С)|=0, (4.3)
<->со
если Iyt(t0) — ф;(Z0)I < O1, Oj > 0, то решение фг(t) (і — 1, 2, ..., я) называется асимптотически устойчивым.
Заметим, что из одного условия (4.3) еще не следует устойчивость решения ф,(/) (/=1, 2.....я).
Пример I. Исследовать на устойчивость решение дифференциального dy
уравнения -~ = — а2у, а Ф 0, определяемое начальным условием у (Z0) = у„. Решение
у ^y0«,-«2«-'.) асимптотически устойчиво, так как
1^-й"('~Ы-^-в2(/-ад1 = ^а8(^'|Уо-У„1<е
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 205
прн Z>Z0k если ІУ о — Уо1 < ^e"аН^ и
1іт*-°2"-'°>|Уо-УвІ = 0.
dy
Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения —- =
= а2у. а Ф 0, определяемое условием у (Z0) = у0.
Решение у ¦-- у0еа2''-'«' неустойчиво, так как нельзя подобрать столь малое o > 0, чтобы из неравенства | у„ — у01 < б (є) следовало бы
I у0**'«"'•>_ J0*"'<'-'•> |< е
или
^2"-'о)ІУо-Уоі<6
при всех Z > Z0.
Исследование на устойчивость некоторого решения
Уi==b(t) (J=I, 2.....я)
системы уравнений
^- = (P,.(Z, у,, у2.....у„) (Z=I. 2.....я) (4.1)
может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения — точки покоя, расположенной в начале координат.
Действительно, преобразуем систему уравнений (4.1) к новым переменным, полагая
*і = У/-й(') (*=1. 2. .... я). (4.4)
Новыми неизвестными функциями X1 являются отклонения у і — y{(t) прежних неизвестных функций от функций у і (Z)1 определяющих исследуемое на устойчивость решение.
В силу (4.4) в новых переменных система (4.1) принимает вид
~[Г = -^аТ+фі(^ *і + Уі('). x2 + y2(t).....x„ + y„(Z))
— (і = 1, 2.....я). (4.5)
Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению У; = Уг(/)
(Z=I, 2.....я) системы (4.1), в силу зависимости хг=у(- — yt (Z)1
соответствует тривиальное решение х(==0 (Z= 1, 2.....я) системы (4.5), причем исследование на устойчивость решения yt = yt (Z) (Z=I1 2, ...,, я) системы (4.1) может быть заменено исследованием на устойчивость тривиального решения системы (4.5). Поэтому в дальнейшем без ограничения общности можно считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение или, что одно и то же, расположенная в начале координат точка покоя системы уравнений
206 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. 4
§ 2. Простейшие типы точек покоя
Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:
dx .
— = аххх + апу,
= а2хх + а,22у.
dy_ dt
(4.6)
где
ф 0.
1Il д12 ;21 а22
Ищем решение в виде x = axeut, у=а2ек' (см. стр. 193). Для определения k получаем характеристическое уравнение
42
&22 ^
= о
или
fe2 — (0Il + ?22> k + (fllla22 — O21O12) = °.
