Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
возьмем в сколь угодно малой окрестности начала координат в области (V > 0), v(xx(tQ), х2(г0),____ x„(Zo)) = a>0 (рис. 4.13). Так как
вдоль траектории ^ ^ 0, то функция v вдоль траектории не убывает, и следовательно, пока траектория не покинет рассматриваемую й-окрестность начала координат, где выполнены условия теоремы, траектория должна находиться в области (V^ а). Допустим, что траектория не покидает «-окрестности начала координат. Тогда в силу
условия 2) вдоль траектории при t"^>t0 производная ^^>?>0. Умножая это неравенство на dt и интегрируя, получим:
V(X1(^, x2(t).....xn(t)) — v(x1(t0), X2(Z0).....х„ (Z0) )>?(Z—Z0),
откуда следует, что при Z->оо функция v вдоль траектории неограниченно возрастает, что находится в противоречии с предположением о том, что траектория не выходит за пределы замкнутой й-окрестности начала координат, так как в этой й-окрестности непрерывная функция V ограничена.
Замечание. Н. Г. Четаев доказал теорему о неустойчивости в предположении, что V может зависеть также и от Z, при этом условия теоремы несколько изменяются и, в частности, приходится требовать ограниченности функции v в области (v 0) в рассматриваемой й-окрестности начала координат.
Пример 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы: dx , dy ,
¦Ж = -'-*' dT=x-y-
Функция V (х, у) = Xі + у2 удовлетворяет условиям теоремы А. М. Ляпунова об асимптотической устойчивости: .
1) v(x, у)>0, v(0, 0) = 0;
2) = 2х (— у — X3) + 2у (х — у3) = — 2 (х4 + у4) < 0. Вне окрестности
dv *
начала координат — ? < 0. Следовательно, решение х==0, узгОасимп-
тотически устойчиво.
Пример 2. Исследовать на устойчивость тривиальное решение хэО, у == 0 системы:
dx . dy .
-df-~xy' чг-ух-
Функция V (х, у) = X4 -f- у4 удовлетворяет условиям теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости:
1) W(X1 у)= х4 + у4>0, v(0, 0) = 0;
2) j^ = — 4х4у4 + 4х4у4=0.
220 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. 4
Следовательно, тривиальное решение х==0, у==0 устойчиво. Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя х == 0, у == 0 системы уравнений
dx
Функция V= Xі — у4 удовлетворяет условиям теоремы Н. Г. Четаева: 1) V > 0, при I X I > І у I; dv dt
2) = 4х3 (у3 + X5) —• 4у3 (х3 4- У5) = 4 (xs — у8) > 0 при |х|>|у|
dv
причем при v^a > 0, ^->>?>0. Следовательно, точка покоя х = 0, у= О неустойчива.
Пример 4. Исследовать на устойчивость тривиальное решение X1 = O (i = 1, 2.....п) системы уравнений
dXj _ ди(хи х2, Xn) ,= 1 2 .
дхг '
если дано, что функция U(X1, хъ хп) имеет строгий максимум в начале координат.
В качестве функции Ляпунова возьмем разность
v(xh X2.....Xn)= и (0, 0.....0) — и(хх, X2.....хп),
которая, очевидно, обращается в нуль при Xi=O(I=I, 2, п), имеет строгий минимум в начале координат и, следовательно, удовлетворяет условию 1) теоремы Ляпунова об устойчивости. Производная вдоль интегральных кривых
dv It ''
у ди_ djq _ у (дцХ < 0
Lk dXj dt Lj \dxt j "
1=1 (=1
Итак, условия теоремы Ляпунова об устойчивости выполнены, следовательно, тривиальное решение устойчиво.
Пример 5. Исследовать на устойчивость тривиальное решение xt==0 (і = 1, 2, п) системы уравнений
п
сЧІ=^і atJ О х>' где aU ^ = — aji ^ при 'J и все аи О ^ °'
/ = 1
п
Тривиальное решение устойчиво, так как функция v = ^ х\ удовлетво-
(=1
ряет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости: 1) tv>0 и u(0, 0, .... 0) = 0;
Il п п п
<=i 1=1 j=i 1=1
ИССЛЕДОВАНИЕ HA УСТОЙЧИВОСТЬ
221
§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению
При исследовании на устойчивость точки покоя X1 =0 (/= 1, 2.....п)
системы дифференциальных уравнений
^ = ft(t. X1, х2, .... Xn) (1=1. 2.....п), (4.14)
где ft — дифференцируемые в окрестности начала координат функции, часто применяется следующий метод: пользуясь дифференцируемое гью функций ft(t, X1, X2.....Xn), представляют систему (4.14)
в окрестности начала координат X1 = 0(/=1, 2.....п) в виде
п
Ц± = 2 аи (t) Xj + R1 (t, xv X2.....Xn)(L=I, 2.....n), (4.15)
где R1 имеют порядок выше первого относительно 1/ 1 X2., и
вместо точки покоя X1 = O(I = I, 2.....п) системы (4.15) исследуют
на устойчивость ту же точку покоя линейной системы
^f = ^a(J(t)Xj (L=U 2, .... п), (4.16)
называемой системой уравнений первого приближения для системы (4.15). Условия применимости этого метода, которым долгое время пользовались без всякого обоснования, были детально исследованы А. М. Ляпуновым и в дальнейшем расширены трудами многих других математиков, среди которых следует в первую очередь отметить работы О. Перрона, И. Г. Малкина, К. П. Персидского, Н. Г. Четаева.
Исследование на устойчивость системы уравнений первого приближения, конечно; является задачей значительно более легкой, чем исследование исходной, вообще говоря, нелинейной системы, однако даже исследование линейной системы (4.16) при переменных коэффициентах atj(t) является задачей весьма сложной. Если же все ац постоянны, т. е. система стационарна в первом приближении, то исследование на устойчивость линейной системы (4.16) не представляет принципиальных затруднений (см1, стр. 212—213).
