Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
общего решения 2 ci^i> соответствующей однородной системы
1-і
а частного решения X рассматриваемой неоднородной системы.
Доказательство, Так как условия теоремы существования и единственности выполнены (см. стр. 183), то для доказательства теоремы достаточно обнаружить, что подбором произвольных по-
системы линейных дифференциальных уравнений
189
стоянных c1 в решении X = 2 сі^і + X можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям
120
т. е. надо доказать, что одно матричное уравнение
І) c1X1(I0) + X (t0) = X0 или эквивалентная система уравнений
л
1 cixu V0) "Г" х\ V0) = Xi0, (=1
л
1 ctx2l V0) H- X2 V0) = X20. ( = 1
(3.23)
S cixniV0) + XnV0) — хп
всегда имеет решение c1, с2, .... сп, каковы бы ни были правые части. Однако в такой форме это утверждение очевидно, так как определитель системы (3.23) является определителем Вронского
в точке t = t0 для линейно независимых решений X1, X2.....Xn
соответствующей однородной системы и по теореме 3.4 отличен от
нуля. Следовательно, система (3.23) имеет решение C1, с2.....с„
при любых правых частях.
Теорема 3.8 (принцип суперпозиции). Решением системи линейных уравнений
fuV)
L[X]=IF1, F1:
hi V)
fniV)
190
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
[ГЛ. 3
является сумма 2 X1 решений X1 уравнений
L[X1J = F1 {7=1, 2,
т).
Доказательство. Дано L[X1] == F1 (1=1, 2, доказать, что
т). Надо
2*.
Используя свойство 2) оператора L, получим
= 2/№=2/>
/=1 <=1
Замечание. Теорема 3.8 без изменения доказательства, очевидно, распространяется и на тот случай, когда т—>оо, если ряд
2 X1 сходится и допускает почленное дифференцирование. 1 = 1
Теорема 3.9. Если система линейных уравнений L[X] = U + IV,
где
U:
V =
с действительными функциями atj(t), u((t), V1 (Y)(і, j= 1, 2, ..., я) имеет решение
X = U + iV. U
то действительная часть решения U и его мнимая часть V соответственно являются решениями уравнений
L[X] = U и L[X] = V.
Доказательство. Дано L[U + IV] = U + (V, надо доказать, что L[U]SSU, L[V]SsV.
U1
«1
U2
V2
¦
V =
«я
§ 4] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 191
dt
— AX = O
и, следовательно, X1(I=X, 2.....п) — линейно независимые частные решения той же однородной системы. Решение неоднородной системы
dX
dt
— AX = F
ищем в виде
X = Ic1V)X1,
где ct(t)—новые неизвестные функции. Подстановка в неоднородное уравнение дает
ля п
^c[V)X1+^c1V)IZl = а 2C1V)X1 + F,
( = 1
I=X
I = I
dXj _ dt
или, так как —jf- = AXt, получим
IC1V)X1 = F.
t=\
Это векторное уравнение эквивалентно системе п уравнений:
п
IC1V) X11 = Z1 V),
I=I
Ic1V)X21 = Z2V),
I = X
Ic1V)X111 = ZnV).
(3.24)
Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора L, получаем
L [U + IV] = L [U] + iL [V] = U + lV.
Следовательно, L[U] = U и L[V]== V.
Если известно общее решение соответствующей однородной системы L(X) = O, но подобрать частное решение неоднородной системы L(X) = F не удается и, следовательно, нельзя воспользоваться теоремой 3.7, то можно применить метод вариации постоянных.
п
Пусть X = І сіХі является при произвольных постоянных C1 ( = 1
общим решением соответствующей однородной системы
dX
192 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ГГЛ. 3
откуда
Следовательно,
— Cx (Z) sin Z 4- C2 (Z) cos Z = ,
( .,. sin Z ',,v.
C1 (Z) =--7 , с, (Z) = 1.
1 cos Z 1
C1 (Z)= In I cos ZI 4- C1, C2 (Z) = Z 4- C2
и окончательно получаем
л: = C1 cos Z + C2 sin Z 4- cos Z In | cos Z | + Z sin /, у = — C1 sin Z 4" c2 cos Z — sin Z In I cos ZI 4- Z cos t.
§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Линейной системой с постоянными коэффициентами называется линейная система уравнений
і = 2 аЧх> + Si W С = !• 2- • • • •
dx
Из этой системы я уравнений с я неизвестными c't(t) (1=\, 2, .... я) с определителем системы W, совпадающим с определителем Вронского для линейно независимых решений Xx, X2.....Xn
и, следовательно, отличным от нуля, определяются все с\ (/):
С;(*) = Ф((0 (/=1. 2.....я).
откуда, интегрируя, находим неизвестные функции с,- (/):
C1V) = f ^i{t)dt + ~ci (/=1. 2.....я).
Пример 3,
dx _ dy _ 1
ЧГ~У' ~Ж ^ + "соП*
Общее решение соответствующей однородной системы
dx dy
имеет вид X = C1 cos / + C2 sin /, у = — C1 sin ^ —(~ C2 cos Z (см. стр. 188. пример 2). Варьируем постоянные
X = C1 (/) cos / 4- C2 (/) sin Z, у = — C1 (/) sin Z 4- C2 (/) cos t.
Cj(Z) и C2(Z) определяется из системы (3.24), имеющей в данном случае вид
с\ (Z) cos Z 4- C2 (Z) sin Z = О,
4 5] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
193
dX dt
= AX + F,
в которой все коэффициенты CL1J постоянны, или, что то же самое, матрица А постоянна.
Проще всего система линейных однородных или неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами интегрируется путем сведения ее к одному уравнению более высокого порядка, причем, как отмечено на стр. 177, полученное уравнение более высокого порядка будет линейным с постоянными коэффициентами.
