Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
X2.....Xn называются линейно независимыми.
что одно векторное тождество (3.21) эквивалентно п
Ъ a,xu(t)=0,
i=\
^a1X21(O = O, } (3.2I1)
2 aiXnt(t) = 0.
i = i
Если векторы Xt(i=\, 2, п) линейно зависимы и значит существует нетривиальная система at (т. е. не все а, равны нулю), удовлетворяющая системе п линейных однородных по отношению к уравнений (3.2I1), то определитель системы (3.2I1)
W
х
11 л12
'-21 л22
должен быть равен нулю для всех значений t отрезка a ^b. Этот определитель системы называют определителем Вронского
для системы векторов X1, X2.....Xn.
Теорема 3.4. Если определитель Вронского W решений X1, X2, .... Xn линейной однородной системы уравнений (3.20) с непрерывными на отрезке a^t^.b коэффициентами U11(O равен нулю хотя бы в одной точке t = t0 отрезка a^.t^b, то решения X1, X2.....Xn линейно зависимы на том же отрезке, и, следовательно, на рассматриваемом отрезке W — 0.
Векторы X1, X2.....Xn, где
Xn (t)
186
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ггл. 3
Доказательство. Так как коэффициенты Ci1]V) (/, J = 1,
2.....п) непрерывны, то система (3.20) удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности. Следовательно, начальное
значение X(t0) = 0 (или, подробнее, лг,(г0) = 0, X2 (Z0) = 0.....
Xn (/0) = 0) определяет единственное решение рассматриваемой системы и этим решением, очевидно, является тривиальное решение
системы (3.20) -Л'(Z) = O (или, подробнее, X1(Z)=SO, X2(Z)=E=O.....
хл (Z)e=IT). Определитель И/(Z0) = 0. Следовательно, существует нетривиальная система C1, с2, .... сп, удовлетворяющая уравнению
C1X1V0)+c2X2(t0)+ ... +c„^„(Z0)==0,
так как это одно векторное уравнение эквивалентно системе п линейных однородных относительно C1 уравнений с равным нулю определителем:
п
2j C1XnV0) = 0, < = 1
п
2 C1X21 V0) = 0,
i = l
п
2 C1-Xn(O1O) = 0-
1 = 1
Соответствующее этой нетривиальной системе C1, с2> .... Cn решеті
ние уравнения (3.20) X (Z) = 2 C1X1 (Z) удовлетворяет нулевым на-
i = i
чальным условиям Л" (Z0) = 0 и, следовательно, совпадает с тривиальным решением системы (3.20):
п
I1C1XtV) = 0,
/=і
т. е. X1 линейно зависимы.
Замечание. Эта теорема, как показывают простейшие примеры, не распространяется на произвольные векторы X1, X2, . . ., Xn, не являющиеся решениями системы (3.20) с непрерывными коэффициентами.
Пример 1. Система векторов
Z i] Z21
линейно независима, так как из
Cl1 .У, + й2Хг==\0
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
187
М-|-Ot2/2 = О
следует, что аі = а2 = 0 (см. стр. 96, пример 1). В то же время определитель 11 t2
тождественно равен нулю. Следовательно, векторы X1 и X2
t t2
Вронского
не могут быть решениями одной и той же линейной однородной системы (3.20) с непрерывными коэффициентами ац (t) (i, 2).
п
Теорема 3.5. Линейная комбинация ^ C1X t п линейно неза-
i=i
висимых решений Xv X2.....Xn линейной однородной системы
(3.20) с непрерывными на отрезке a ? коэффициентами atj (t)
является общим решением системы (3.20) на том же отрезке.
Доказательство. Так как коэффициенты atj(t) непрерывны на отрезке a^t^.b, то система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности и, следовательно, для доказательства теоремы достаточно обнаружить, что подбором постоянных C1
п
в решении 2 C1X t можно удовлетворить произвольно выбранным 1 = 1
начальным условиям X (t0) = Х0,
х10
X0 =
ь20
^ пО
где t0— одно из значений t на отрезке a 4^t ^b, т. е. можно удовлетворить одному векторному уравнению
^ C1X1(I0) = X0 1=1
или эквивалентной системе я скалярных уравнений:
п
2 cixli Со) = -*?'
1 = 1
п
2 cix2i H0) = х20' 1 = 1
S cixnlHo) — X,
1=1
по-
188
системы дифференциальных уравнении
ггл. s
Эта система разрешима относительно C1 при любых хш, так как определитель системы является определителем Вронского для линейно независимой системы решений Xx, X2, ¦. ¦. Xn и, следовательно, не обращается в нуль ни в одной точке отрезка a^.t^.b.
Пример 2.
dx
= у.
(3.22)
1
dt dy_ dt
Нетрудно проверить, что системе (3.22) удовлетворяют решения Jc1 = cos і. ух — — sin t vi X2 = sin t, у2 = cos г. Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского
zo&l -•sin/ sin/ cos/
отличен от нуля. Следовательно, общее решение имеет вид
X— C1 cos t -\~ C2 sin/, у = — C1 sin t -f- C2 cos /,
где С\ и C2 — произвольные постоянные.
Теорема 3.6. Если X является решением линейной неоднородной системы
L[X] = F. (3.19)
a Xx — решением соответствующей однородной системы L]X] = 0, то сумма Xx+ X также будет решением неоднородной системы L[X] = F.
Доказательство. Дано, что L[X] = F и Ll-K1I = O. Надо доказать, что L [Xx X] = F,
Пользуясь свойством 2) оператора L, получим
L[X1 + X] = L[Xx] + L[X] = F.
Теорема 3.7. Общее решение на отрезке a ^t ^b неоднородной системы (3.19) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами aif(t) и правыми частями ft(t) равно сумме
