Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.6.
14 Л. Э. Эльсгольц
210
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
3) Aj1J= ± qi, ЧФ 0.
Как уже отмечалось выше, в силу периодичности решений, траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя (рис. 4.4), называемую в этом случае центром. Центр является устойчивой точкой покоя, так как для заданного е > 0 можно подобрать б > 0 такое, что замкнутые траектории, начальные точки которых лежат в o-окрестности начала координат, не выходят за
Рис. 4.7
Рис. 4.
пределы е-окрестности начала координат или, что то же самое, можно подобрать столь малые C1 и с2, что решения
X = C1 cos qt -4- C2 sin qt,
у = с, cos qt + c2 sin qt
будут удовлетворять неравенству
хЩ) + уЦі)<г\
Заметим, однако, что асимптотической устойчивости в рассматриваемом случае нет, так как х (t) и y(t) в (4.11) не стремятся к нулю при t—>оо.
в) Корни кратны A1 = A2.
1) kx = k2< 0.
Общее решение имеет вид
Jt(Z) = (C1O, +C2P1/) с*.',
У (/) = (CjO2 + C2?2f) еЧ
причем не исключена возможность того, что ?j = ?2 = 0, но тогда O1 и а2 будут произвольными постоянными.
Из-за наличия быстро стремящегося к нулю множителя с*1' при t—>оо произведение (C1CIi + c2?^)e*>' (/=1, 2) стремится к нулю при /—> со, причем при достаточно большом / все точки любой o-окрестности начала координат попадают в заданную е-окрестность
(4.11)
2]
ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ
211
начала координат и, следовательно, точка покоя асимптотически устойчива. На рис. 4.7 изображена точка покоя рассматриваемого вида, так же как и в случае а) 1), называемая устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а) 1) и фокусом б) 1), так как при сколь угодно малом изменении действительных коэффициентов аи, я12, а21, а22 он может превратиться как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а) 1), потому что при сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексных сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней. Если P1 = P2=O, то тоже получаем устойчивый узел (так называемый дикритический узел), изображенный на рис. 4.8.
2) Если А1 = А2>0, то замена / на —t приводит к предыдущему случаю. Следовательно, траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, изображенных на рис. 4.7 и 4.8, но движение по ним происходит в противоположном направлении. В этом случае точка покоя называется, так же как и в случае а) 2), неустойчивым узлом.
Тем самым исчерпаны все возможности, так как случай A1 = O (или A2 = 0) исключен условием
а21
*22
Замечание 1. Если
21
а
22
Ф о.
о,
то характеристическое уравнение ап — А а
21
12
а22 -
= 0
имеет нулевой корень A1 = O. Предположим, что A1=O, но A2 Ф 0. Тогда общее решение системы (4.6) имеет вид
X = C1Ct1 -f- C2P1c^1 у = C1W2 4- C2?2e**<.
Исключая /, получим семейство параллельных прямых ?t (у— C1Ct2)= = ?2 (х — C1Ct1). При C2 = O получаем однопараметрическое семейство точек покоя, расположенных на прямой а:у=а2х. Если A2 < 0, то при t—>оо на каждой траектории точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя х = C1O1, у = C1O2 (рис. 4.9). Точка покоя X = 0, у = 0 устойчива, но асимптотической устойчивости нет.
14*
212
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
Если же A2 > 0, то траектории расположены так же. но движение точек на траекториях происходит в противоположном направлении—точка покоя X== 0, у = 0 неустойчива.
Если же = k2 = О, то возможны два случая:
1. Общее решение системы (4.6) имеет вид X = C1, у = C2 — все точки являются точками покоя, все решения устойчивы.
2. Общее решение имеет вид
x = c.-\~cj. у = с*.-\-c*J,
где
линейные комбинации
произвольных постоянных C1 и с2. Точка покоя х = 0, у = 0 неустойчива.
Замечание 2. Классификация точек покоя тесно связана с классификацией особых точек (см. стр. 57—59).
Действительно, в рассматриваемом случае система
dx ~Ж
dy_ dt
где
Рис. 4.9.
¦¦ а21х + а22у,
Ф О
(4.6)
путем исключения t могла бы быть сведена к уравнению
a2lx А- а22у
dy_
dx
аих А- а1гу
(4.12)
интегральные кривые которого совпадают с траекториями движения системы (4.6). При этом точка покоя х = 0, у = 0 системы (4.6) является особой точкой уравнения (4.12).
Заметим, что если оба корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть [случаи а) 1); б) 1); в) 1)], то точка покоя асимптотически устойчива. Если же хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть [случаи а) 2); а) 3); б) 2); в) 2) ], то точка покоя неустойчива.
Аналогичные утверждения справедливы и для системы п линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
ПРОСТЕЙШИЕ типы ТОЧЕК покоя
213
Если действительные части всех корней характеристического уравнения системы (4.13) отрицательны, то тривиальное решение х,=зО (1=1, 2.....я) асимптотически устойчиво.
Действительно, частные решения, соответствующие некоторому корню ks характеристического уравнения, имеют вид (стр. 193 и 196)
