Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
а) тх = / (х);
б) тх = / (х).
41. yVi—3yV + 3ylV —у"' = х
42. xIV + 2х" + X = cos /.
43. (1 + xf у" + (1 + X) у' + у == 2 cos In (1 + х).
44. Определить периодическое решение уравнения
sin nt
ГЛАВА З
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ I. Общие понятия
Уравнение движения материальной точки массы т под действием силы F (t, г, г)
^2T с ,4. \
путем проектирования на оси координат может быть заменено системой трех скалярных уравнений второго порядка:
(Px ...
m -Jj2- = X (t, х, у, г, х, у, z),
d2v
m -~=Y(t, х, у, z, х, у, z),
—ч d'lz
m-^jr=Z(t, х, у, z, х, у. z),
или системой шести уравнений первого порядка, если за неизвестные функции считать не только координаты х, у, z движущейся точки, • • • dr .
HO И Проекции X, У, Z ЄЄ СКОрОСТИ —jj .
X = U, у = V, Z = W, '
mu = X(t, х, у, z, и, v. W)1 mv = Y(t, х, у, z, и, V, w), mw = Z(t, х, у, z, и, V, w).
При этом обычно задаются начальное положение точки х V0) = х0, y(t0) = y0, z (t0) = z0 и начальная скорость и(г0) = и0, v(t0) = v0, w V0) = W0.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
169
Эта основная задача с начальными значениями уже рассматривалась в § 6 главы 1 (стр. 51). Там была доказана теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений
dx.
dt
dx2 elf
dxn
— /l V • X1, X2, .... Xn), —/2(Л X1, X2, . .., Xn),
¦¦ fn (t, X1, X2, .... Xn),
(3.1)
dt
удовлетворяющего начальным условиям
X1(^) = X10 (1=1, 2.....«). (3.2)
Напомним, что достаточными условиями существования и единственности решения системы (3.1) при начальных условиях (3.2) являются:
1) непрерывность всех функций ft в окрестности начальных значений;
2) выполнение условия Липшица для всех функций ft по всем аргументам, начиная со второго в той же окрестности.
Условия 2) можно заменить более, грубым, потребовав существования ограниченных по модулю частных производных
dfi
OXj
(I, J = 1, 2.....it).
Решение системы дифференциальных уравнений X1(^), X2(t), ... xn(t) является «-мерной вектор-функцией, которую мы кратко будем обозначать X (t). В этих обозначениях система (3.1) может быть записана в виде
Ж = р«< *>¦
где F — вектор-функция с координатами (fv /2, .... /„), а начальные условия в виде X (t0) = X0, где есть «-мерный вектор с координатами (х10, X20.....хл0).
Решение системы уравнений
Xj = Xj V), X2 X2 V), .... Xn = Xn V),
или кратко X = X V), определяет в евклидовом пространстве с координатами г, X1, X2.....Xn некоторую кривую, называемую интегральной кривой. При выполнении условий 1) и 2) теоремы существования и единственности через каждую точку этого пространств; проходит единственная интегральная кривая и их совокупность образует «-параметрическое семейство, в качестве параметров этого семейства могут быть взяты, например, начальные значения х10, X20.....хл0.
170
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. 3
Возможна и другая интерпретация решений
Xj = X1U). X2 = X2U).....Xn = Xn(t),
или кратко X = X (t), особенно удобная, если правые части системы (3.1) не зависят явно от t,
В евклидовом пространстве с прямоугольными координатами X1, X2.....Xn решение Xj = X1U), X2 = X2 U).....Xn — Xn U) определяет закон движения по некоторой траектории в зависимости от изменения параметра t, который при этой интерпретации мы будем
считать временем. При такой интерпретации производная —-^- будет
dx, dx* dx„
скоростью движения точки, a —^- , —^-.....—^- — координатами
скорости той же точки. При этой интерпретации, весьма удобной и естественной во многих физических и механических задачах, система
4г = /,(*. X1, X2.....хп) (/ = 1,2.....п), (3.1)
или
4^ = FU, X)
обычно называется динамической, пространство с координатами
X1, х2.....х„ называется фазовым, а кривая X = X(Jt) — фазовой
траекторией.
Динамическая система (3.1) в заданный момент времени t определяет в пространстве X1, х2, .... Xn поле скоростей. Если вектор-функция F зависит^явно от t, то поле скоростей меняется с течением времени и фазовые траектории могут пересекаться. Если же вектор-функция F, или, что то же самое, все функции не зависят явно от t, то поле скоростей стационарно, т. е. не изменяется с течением времени, и движение будет установившимся.
В последнем случае, если условия теоремы существования и единственности выполнены, через каждую точку фазового пространства (Xj, X2.....Xn) будет проходить лишь одна траектория. Действительно, в этом случае по каждой траектории X = X (t) совершается бесконечное множество различных движений X = X (t + с), где с — произвольная постоянная, в чем легко убедиться, совершив замену переменных t1 = t-\-c, при которой динамическая система не изменит своего вида:
я-™
и следовательно, X = X U1) будет ее решением, или в прежних переменных X = X U H- с).
интегрирование системы уравнений
171
Если бы через некоторую точку X0 фазового пространства в рассматриваемом случае проходили две траектории
