Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
47
в некоторых случаях, можно продолжить решение на всю полуось х ,> X0 или даже на всю ось — со < х < со, если продолжить решения и в сторону меньших значений х. Однако возможны и другие случаи, даже если функция /(х, у) определена для любых значений X и у.
Возможно, что интегральная кривая становится непродолжаемой ввиду приближения к точке, в которой нарушены условия теоремы
У
(-1.0) 0
11,0) X
Рис.
І.16.
X
Рис. 1.17.
существования и единственности решения или интегральная кривая приближается к асимптоте, параллельной оси Oy.
Эти возможности иллюстрируются следующими примерами: d. у X
1) --у~> У (0) = 1- Разделяя переменные и интегрируя, получаем
Xі -j- у2 = с'\ у = ± у"с* — х'\ с
Решение непродолжаемо за пределы интервала — 1 < х < 1. В граничных точках (—1, 0) и (1, 0) правая часть уравнения -—• = — — разрывна. Условия теоремы существования решения нарушены (рис. 1.16).
2) Ц- = у2, у (1) = 1. Разделяя переменные и интегрируя, получим
= 1, у = /1-
= 2, у =
1
х — 2 '
и интегральная кривая продолжаема лишь до асимптоты х = 2(— оо<х<2) (рис. 1.17).
В настоящее время теоремы существования и единственности решений не только дифференциальных уравнений, но и уравнений иных типов очень часто доказывают методом неподвижных точек.
48
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. I
Простейшей теоремой о неподвижных точках является принцип сжатых отображений.
Принцип сжатых отображений. Если в метрическом *) полном**) пространстве M задан оператор А, удовлетворяющий условиям:
1) оператор А переводит точки пространства M в точки того же пространства: если уаМ, то A[y\czM;
2) оператор А сближает точки, точнее,
р (А [у], A [Z] Ж ар (у, г),
где у и z — любые точки пространства М, а < 1 а не зависит от выбора у и z, р(у, z) — расстояние между точками у и z в пространстве М, то существует единственная неподвижная точка у пространства М, Л[у]=у, и эта точка может быть найдена методом последовательных приближений, т. е. у = lim у„, где уп = А [уп_1] (п=1, 2, ...), причем точка у0
выбирается в пространстве M произвольно.
Доказательство. Докажем, что последовательность
Уо. Уі- У2.....Уя. ¦ • •
фундаментальна. Оценим расстояние между соседними членами этой последовательности:
Р(У2- Уі) = Р(^ІУі1. Л Iy0]XaPCy1, у0),
Р(Уз> Уг) = P Iy2L ЛІУі1)<ар(У2. у0<O2PCy1, у0),
р(уя+і. Уп> = р(Му„]. Л[у„-ііх (L31)
<ар(уя. у„_1Хаяр(у1, Уо).
*) Пространство M называется метрическим, если в нем определена функция р (у, г) пар точек этого пространства, удовлетворяющая для любых точек у м z рассматриваемого пространства условиям:
1) P (У. *) > 0, причем р (у, у) = О и из р (у, Z) = O следует у = г;
2) р (у, Z) = P(Z, у);
3) P(у, г)<р(у, и) -f- р(и, г) (правило треугольника). Функция р называется расстоянием в пространстве М.
**) Метрическое пространство M называется полным, если каждая фундаментальная последовательность точек пространства M сходится в этом пространстве. Напомним, что последовательность у(, у2, у„, ... называется фундаментальной, если для каждого е > О можно подобрать число N (е) такое, что при п > N (е) расстояние р (уп, уп+т) < е при любом целом т > 0.
§ 61 теоремы существования и единственности 49
Применяя теперь т — 1 раз правило треугольника и используя неравенства (1.31), получим
Р(У«. Уя^)<Р(У„. Ул + і) T-P(^fI- У«+2)+ ••• ••• +Р(У„+т-1- Уп,тх1«п+*п+1+ ¦•• +a"+—1Iр(Уі. у0) =
ап_ап+т а"
- 1_а р(Уі. Уо)<ТЗГ^Р(Уі' Уо)<є
при достаточно большом п. Следовательно, последовательность у0, yv у2.....уп, ... фундаментальна и, в силу полноты пространства М, сходится к некоторому элементу того же пространства: lim уп —у, yczM.
Докажем теперь, что у является неподвижной точкой. Пусть А [у]= у. Применяя два раза правило треугольника, получим
P (У. У)<Р(У. УЯ) + Р(У„. Уя+і) + Р(Уя+і. У)-Для любого е>0 можно выбрать N(є) такое, что при «^-Л/(є)
1) P (У. Ул)<т- так как У== Ит У"''
2) P (Ул. Ул+і)<"з~> Так как последовательность уп фундаментальна;
3) Р(Уп+1. У)==Р(^[УП].'^ІУ])<ар(Уя.У)< J. откудар(у, у)<е. где є можно выбрать сколь угодно малым. Следовательно,
P(У. У) = О и у= у, А[у]=у.
Остается доказать, что неподвижная точка у единственна. Если бы существовала еще одна неподвижная точка г, то р(А [у], A[z]) = р(у, z), что противоречит условию 2) теоремы.
Применим принцип сжатых отображений к доказательству теоремы существования и единственности решения у (х) (х0 — A0J^
dy
<] х X0 + Zz0) дифференциального уравнения -^=f(x, у), удовлетворяющего условию у (х0) = у0, в предположении, что в области D X0- а <х< X0-J- а, у0 —*<У<у0 + *
функция / непрерывна и, следовательно, ограничена |/| и удо-
влетворяет условию Липшица
|/(х, у)-/(х, z)\ <N\y-z\. Число я0 ^ min ^a, « будет точнее выбрано ниже.
4 Л. Э. Эльсгольц >
50 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 1
