Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
р(Л[у], A[z]) = max
Рассмотрим полное метрическое пространство С, точками которого являются всевозможные непрерывные функции у (х), определенные на отрезке X0 — A0 ^ х <^ X0 -f- A0, графики которых лежат в области D, а расстояние определяется равенством
р(у, г) = max Iу — г\,
где максимум берется при х, изменяющемся на отрезке
X0 — A0 ^ X <^ X0 -4- A0.
Это пространство часто рассматривается в различных вопросах математического анализа и носит название пространства равномерной сходимости, так как сходимость в смысле метрики этого пространства означает равномерную сходимость.
Заменим дифференциальное уравнение -^— fix, у) с начальным
условием у(х0) = у0 эквивалентным интегральным уравнением
к
У = Уо + f fix, у)ахГ (1.24)
X,
Рассмотрим оператор
X
А[у]=у0 + Jfix, y(x))dx,
X1
ставящий в соответствие каждой непрерывной функции у(х), заданной на отрезке X0 — A0 ^ х X0 + A0 и не выходящей из области D, непрерывную функцию А [у], определенную на том же отрезке, график которой также не выходит из области D, так как
X
j fix, y)dx <С Mh0^b. Оператор А [у], следовательно, удовлетвори
ряет условию 1) принципа сжатых отображений.
Уравнение (1.24) при этом запишется в виде у = Л [у], и следовательно, для доказательства теоремы существования и единственности остается доказать существование в пространстве С единственной неподвижной точки у (х) оператора А, так как в этом случае у = А [у] и уравнение (1.24) удовлетворяется.
Для доказательства теоремы остается проверить, удовлетворяет ли оператор А условию 2) принципа сжатых отображений:
р(Л[у], Л И)< ар (у, z), а<1,
где
С
J [fix, у)-fix, z)\dx
§ 61 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
51
P(A [у], A [z] X N шах
z I dx
<
^ TV max І у — z \ max
/
dx
- Nh0 max |y — z \ = Nh0p(y, z).
Выбирая h0 так, чтобы Л/й0<^а< 1, получим, что оператор Л удовлетворяет З'СЛОВИЮ
р(А[у], ЛИ)<ар(у, z), а < 1.
Итак, согласно принципу сжатых отображений существует единственная неподвижная точка у (х) оператора А, или, что то же самое, единственное непрерывное решение уравнения (1.24), и оно может быть найдено методом последовательных приближений.
Совершенно аналогично можно доказать теорему существования
и единственности решения Уі(х), у2(х).....Уп(х) для системы
уравнений
dy, Tx
или
їі(х, Уі, У2. • ••> У„). Уі(х0) = у10 (/=1,2,...,«) (1.32)
Уі = Ую+f ft*- Уі- >'2.....У„)<** (^=1,2.....n) (1.33)
в предположении, что в области D, определяемой неравенствами
а<Сх -<Сх0-\-а, yi0 — ^<У/<у/0 + ^ ('=
., я).
правые части уравнений (1.32) удовлетворяют условиям:
1) все функции ft(x, Уі, у2.....уп) (t=l, 2.....я) непрерывны, а следовательно, и ограничены,
2) все функции /г (/=1, 2.....га) удовлетворяют условию
Липшица:
\fi(x, Ух, У2.....Уп)~/і(х, Z1, Z2
*„)1 |У,-*,|.
Точкой пространства С будет теперь система га непрерывных
функций (yv у2.....ул), т. е. га-мерная вектор-функция Y(х)
с координатами у1(х), у2(х), уп(х), определенная на отрезке
*о — К < х < x0 H- К гДе К < min [а> ¦jf ,
и будет точнее
4*
Пользуясь неравенством Липшица, получим
52
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ГГЛ. !
выбрано ниже. Расстояние в пространстве С определяется равенством
п
P(K(X)1 Z(x)) = Хтах \Уі~ < = і
где Z1, Z2.....,гл—координаты вектор-функции Z(x).
Нетрудно проверить, что при таком определении расстояния множество С я-мерных вектор-функций Y (х) превращается в полное метрическое пространство. Оператор А определяется равенством
А
[П = 1Ую + / fi(x, V1, У2, .... y„)dx,
У-20
х, у,, \V
yn)dx, .... yll0-+ j f„(x, у,, y2..... yn)dx I,
т. е. при действии оператора А на точку (yv у2, .... уп) получаем точку того же пространства С с координатами, равными правым частям системы (1.33).
Точка A[Y] принадлежит пространству С, так как все ее координаты являются непрерывными функциями, не выходящими из области D, если координаты вектор-функции Y не выходили из области D.
Действительно,
jfi(x, Уі, у2.....y„)dx
X
< м
j dx
< Mh0 < bt
X-
и следовательно, \yt — У(0|<*«.
Остается проверить выполнение условия 2) принципа сжатых отображений:
P(A[Y), A[Z]) =
П X
= 2 max IJ [fi(x, yv у2.....y„) — fi(x. Z1, z2,
/=1 Xa
П X
< 2 max IJ I /; (x, yv y2.....y„)—fi(.x, Z1, z2,
X0
П X Il
< N 2 max j J 2l^-^H<
і = 1 JT0 1 = 1
л л -г
^ N max І уг — Z1 | ^ max | J rfx
Zn)] dx < I dx <
¦ NnH0P(Y, Z).
2-і
«=i
« Sl ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 53
где у((/=1, 2.....га)—координаты вектор-функции К, то есть Y
является единственным решением системы (1.33).
Пример 1. Найти несколько последовательных приближений у,. у2, Уз к решению уравнения
|^ = x2H-.y2; у (0) = 0, — 1<х<1, — 1 < у < I.
X
у= У (x* + y2)dx, h0 = min (l, 1) = 1
о
Полагая у0 (х) = 0, получим
