Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Ui, Уі)
Чаще всего в качестве пути интегрирования удобно брать ломаную, составленную из двух звеньев, параллельных осям координат (рис. 1.10); в этом случае
[X, У) IX, Уо) (JT1 у)
f Mdx + Ndy= J Mdx+ f Ndy
(х-,, у. (*,,Уі) іх, Уо)
34 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
ИЛИ
\Х. vi кх,, у> ,х, у)
J* Mdx+Ndy = f Ndy + f Mdx.
(.Х„, Уо) (JT01 Уо) (Xfi, у)
Пример 1.
(x+y+l)dx + (x — у2+ 3) dy = 0.
Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции и (х, у), так как
djx+y + 1) _ d(x-y2 + 3) ду дх '
du X2
¦0Х-==х + У+1> " = Т" + ху + Х+ °
ou
— = х + с'(У), х + с'(у) = х — у2 4-3, с'(у) = -у2 + з, с(у) = -^- + Зу 4-е,, « = -?- + ху 4- X — -^- 4- зу 4- с,.
Следовательно, общий интеграл имеет вид
Зх2 + 6ху+6х—2у3+18у = с2. (1.17)
Можно применить и другой метод определения функции и (х, у): (JT1 У)
»(•*. У)= J (х + у+l)dx + (x — y2 + 3)rfy.
U„ Уо)
За начальную точку (х0, у0) выбираем, например, начало координат, в качестве пути интегрирования — изображенную на рис. 1.11 ломаную. Тогда
(Jr, 0) (х, у) ¦
и(х, у)= J (*+I)A*+ f (x-y2 + 3)dy =^ + х + ху-І + Зу
(0,0) ' (jr, 0)
и общий интеграл имеет вид
^-+х + ху—-^--\-Зу = е
или как в (1. 17).
В некоторых случаях, когда левая часть уравнения
М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1.14)
не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функцию ц.(х, у), после умножения на которую левая часть уравнения (1.14) превращается в полный дифференциал
du = ixM dx 4- ixN dy.
УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
35
Такая функция и называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (х(а:, у) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль.
Пример 2.
X dx + у dy + (х2 + у2) X2 dx = 0.
1
Очевидно, что после умножения на множитель ц = •
— левая часть нре-
' X2 + у2
вращается в полный дифференциал. Действительно, после умножения на
' X2 + у
2 получим
X dx -)- у dy X2 Л-у2
¦ x2dx = 0
1
или, интегрируя, 2"In(X2-4-у2) + -g- = InC1. Умножая на 2 и потенцируя, будем иметь
2 , ,3 х
¦¦ С.
(х2 + у2)ес
Конечно, далеко не всегда интегрирующий множитель подбирается столь легко. В общем случае для нахождения интегрирующего множителя надо подобрать хотя бы одно не равное тождественно нулю частное ре- уi шение уравнения в частных производных
дцМ _ d\xN
ду ~~ дх '
или в развернутом виде
ф . дМ да ., . dN
о
/А OJ Рис. 1.11.
которое после деления на [X и переноса
некоторых членов в другую часть равенства приводится к
д In ц
ду
M-
д In |х дх
N =
dN дх
дМ
ду •
виду (1.18)
В общем случае интегрирование этого уравнения в частных производных является задачей отнюдь не более простой, чем интегрирование исходного уравнения, однако в некоторых случаях подбор частного решения уравнения (1.18) не представляет затруднений.
Кроме того, считая, что интегрирующий множитель является функцией только одного аргумента (например, является функцией только х-\-у или только х2-\-у2, или функцией только х, или только у и т. д.), можно уже без труда проинтегрировать уравнение (1.18) и
36
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. !
указать условия, при которых интегрирующий множитель рассматриваемого вида существует. Тем самым выделяются классы уравнений, для которых интегрирующий множитель легко может быть найден.
Например, найдем условия, при которых уравнение M dx~\-N dy=0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, [X = р.(х). При этом уравнение (1.18) упрощается и приобретает вид
_ d In [X д,_ dN _ дМ
dx dx ду '
dM dN
откуда, считая ——^ ^х непрерывной функцией х, получим
дМ dN
In p. = j" ^ ^x _|_ Jn ^
дМ dN
/ду дх г — „„ N dx. (1.19)
Можно считать с=1, так как достаточно иметь лишь один интегрирующий множитель. дМ dN
^ ду дх ,
Если —-—Jj- является функцией только х, то интегрирующий
множитель, зависящий лишь от х, существует и равен (1.19), в противном случае интегрирующего множителя вида (х(х) не существует.
Условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от х, выполнено например, для линейного уравнения
dy
-JZ + P (х) у = / (х) или Ip (X) y—f (X)] dx + dy = 0. дМ dN
ду дх г
Действительно, ——Jj-= р (х) и, следовательно, \i = е> pix)dx.
Совершенно аналогично могут быть найдены условия существования интегрирующих множителей вида
ц (у), [X(X ± у), ц.(х2±у2), LX (х- у), [X^j и т. д.
Пример 3. Имеет ли уравнение
X rfx-f у dy -|-х dy — у dx =-0 (1.20)
интегрирующий множитель вида [х = ц. (х2 -)- у2)?
Обозначим X2 -|- у2 = г. Уравнение (1.18) при ц = ц (х2 -f- у2) = ц (г) принимает вид
2(My-Nx)-^ = -lx—w,
§ 51 УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 37