Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
(X -f у) dx — (у — x) dy = u. Полагая у = xz, dy = х dz -f- г dx, получим
(x + xz) dx — (xz — X) (x dz z dx) = 0, (1 + 2z — z2) dx 4- X (1 — z) dz = 0,
=» -i- in с, ж2 (1 4- 2гг — г2) = c, j;2 4- 2xy — у2 = с.
Уравнения вида
dy__f/ аіх+ЬІу + с1 \ t
dx -' \ а2х Ч- &2у 4- C2 / ;
преобразуются в однородные уравнения путем переноса начала координат в точку пересечения (X1, у{) прямых
CL1X 4~^іУ + C1 = 0 и O2X 4- o2y 4" C2 = 0.
Действительно, свободный член в уравнениях этих прямых в новых координатах Х = х — X1, Y = у—ух будет равен нулю, коэф-
dy dY
фициенты при текущих координатах остаются неизменными, a -^ =
и уравнение (1.8) преобразуется к виду
dY _ /а^+^КХ dX ~~J \a2X+b2Y)
или
у дг _|_ 62 _ у
и является уже однородным уравнением.
§ 41 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 27
и следовательно, как указано на стр. 24, замена переменных z = — U1X + преобразует рассматриваемое уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 5.
dy _ X — у-4- 1 dx — X -f у — 3 '
Решая систему уравнений х — у-f 1 = О, х-|-у — 3 = 0, получим X1 = I, У! = 2. Полагая х = 1, у = Y + 2, будем иметь
dY __ X-Y dX ~ X+Y -
у
Замена переменных z = или K= 2¦X приводит к уравнению с разделяющимися переменными
. У dz _ 1 — z (I+z) dz dX
Z^dX~l + z' \ — 2z — z*~X'
— -і- In 11 — 2г- — 1 = In I X\ — line,
(1— 2z — z2)X* = c, X2 — 2XY—Y2 = c, X2 — 2xy — y2 -f 2x + 6y = C1.
§ 4. Линейные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Линейное уравнение имеет вид
?L+p(x)y = f(x), (1.9)
где р(х) и /(х) в дальнейшем будем считать непрерывными функциями X в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1.9).
Если /(х) = 0, то уравнение (1.9) называется линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются:
+ P (х) У = 0, откуда ¦^- = —.p(x)dx,
[
Этот метод нельзя применить лишь в случае параллельности прямых O1X -f- bxy + C1 = О и а2х -4- b2y + C2 — О- Но ? этом слУчае коэффициенты при текущих координатах пропорциональны — =
= ~ = k, и уравнение (1.8) может быть записано в виде dy _ ,І сих+ ЬіУ + Ci
28 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 1
- Г р,(х) dx
< — се->
При делении на у мы потеряли решение у = 0, однако оно может быть включено в найденное семейство решений (1.10), если считать что с может принимать и значение 0.
Для интегрирования неоднородного линейного уравнения
U + P (X) y = f (X) (1.9)
может быть применен так называемый метод вариации постоянной. При применении этого метода сначала интегрируется соответствующее (т. е. имеющее ту же левую часть) однородное уравнение
? + р(х)у = 0, общее решение которого, как указано выше, имеет вид
- Г р (X) dx
у — се-1
і-, j - I p (X) dx
При постоянном с функция се является решением однород-
ного уравнения. Попробуем теперь удовлетворить неоднородному уравнению, считая с функцией х, т. е. по существу совершая замену переменных
, ч - Г pw dx
у = с (х) е J
где с(х) — новая неизвестная функция х. Вычисляя производную
dy de - Г p(x)dx - Г р (X) dx
-Ц = ^е J -с(х)р(х)е J
и подставляя в исходное неоднородное уравнение (1.9J, получим
de -$ p(x)dx -( p(X) dx -(p(x)dx
-^e —с(х)р(х)е J + р (X) С (X) е =/(*)
или
откуда, интегрируя, находим
с(х) = j J (х) е^ p{x)dx dx -4- C1,
и, интегрируя, получаем
In І у I =====—j р (х) dx -+- In C1, C1 > О,
сфО, (1.10)
§ 4] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 29
получающегося из (1.11) при C1 = O.
Заметим, что в конкретных примерах нецелесообразно пользоваться громоздкой и трудно запоминаемой формулой (1.11), значительно легче каждый раз повторять все приведенные выше вычисления.
Пример 1.
dy У dx X
— — = X2.
Интегрируем соответствующее однородное уравнение
^L-L = O, ^L = U. 1п|у| = 1п|х| + 1пс, у = сх. dx X у X 1' ' Iii • /
Считаем с функцией х, тогда у = с (х) х, = ¦—¦ х с (х) и,, подставляя
в исходное уравнение, после упрощения получаем
de X2
х = х2 или de = X dx, с (х) = -^- + Ci-
Следовательно, общее решение
У = C1X-J- -g-. .
Пример 2.
—— у ctg X = 2х sin х.
Интегрируем соответствующее однородное уравнение
dy dy cos X j
—г— у Ctg X = 0, —і- = —:-dx,
« 6 у sin X
In I у I = In I sin XI -J-Inc, y = csinx.
Варьируем постоянную
у = с (х) sin х, у' = с' (х) sin X -f с (X) cos х.
а следовательно,
-f р(х) dx -f p(x)dx -I pwdx с - \ p(x)dx
у = с(х)е J =c1eJ +e J J /(X)eJ rfx.
(1.11)
Итак, общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения
-\ p(x)dx
и частного решения неоднородного уравнения
-\ р (х) dx (¦ Г р (X) dx
е ' /(x)eJ dx.
