Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. на отрезке X0 +kh ^ х ^ x0 + (k+\)h заменяют интегральную кривую, проходящую через точку (хк, ук), отрезком ее касательной в той же точке (см. рис. 1.13, стр. 39). Затем уточняют вычисленное значение Ук+\, для чего определяют производную Уй+1 =/(*a+1, Ук+і) и снова.применяют формулу Эйлера (1.39), но вместо у'к берут среднее арифметическое вычисленных значений
62 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
12 " Чк-2^ 8 ™~3'
1 5 3 251
Ук + \ = Ук+Як + t Д?а - і+ Т2~ ^Як-2 4- ¦g Д39а-з + 720 ДЧ-4-(1,45)
y't + y'k+i
производных в граничных точках---, т. е. считают
Ук + г=Ук + п^±^. (1.40)
Вновь вычисленное значение у ^ + 1 дает возможность вычислить новое значение производной y'k + l = / (xk + v yA+ j), после чего снова вы-
Ук + у'к+1
числяют среднее арифметическое значений производных -^->
снова применяют формулу (1.40)
, .У'к + у'и+і yk + i = yit + h-2-
и продолжают этот процесс до тех пор, пока в пределах заданной точности не совпадут результаты двух последовательных вычислений значений yA+1. После этого тем же методом вычисляется ук+2 и т. д.
Метод Эйлера с уравниванием дает на каждом шаге погрешность порядка h3 и нередко применяется в вычислительной практике. Однако значительно чаще применяются более точные методы (методы Штермера, Рунге, Мильна и др.), основанные на замене искомого решения несколькими членами его тейлоровского разложения
1,2 UtI
т. е. замене искомой интегральной кривой параболой га-го порядка, имеющей касание «.-го порядка с интегральной кривой в точке x = xk, у = ук.
Непосредственное применение формулы Тейлора (1.41) на каждом шаге приводит к сложным и неоднотипным вычислениям, поэтому эта формула обычно применяется лишь для вычисления нескольких близких к X = X0 значений, необходимых для применения более удобных вычислительных схем, среди которых в первую очередь следует назвать метод Штермера, в котором вычисление проводится по одной из следующих формул в зависимости от порядка аппроксимирующей параболы:
У*+і = У* + 9*4"5-д?*-і' (L42>
Ук+і = Ук + ак + j^ft-i + 4~A2^-2' (1-43)
Ук+і = Ук + °к + Т ^Чк-х + тг^Як^ + Т^Чк-г' (1-44)
§ 7]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
лз<7*-з = &qk_2 - A2^3, A*qk_4 = A*qk_3 — A*qk_4.
63
Формулы Штермера могут быть получены путём интегрирования в пределах от хк до X441 тождества y'~f(x, у(х)), в котором у (х) является искомым решением:
и применения известной из курса анализа квадратурной формулы:
Напомним, что эта квадратурная формула получается путем замены подынтегральной функции ср(х) аппроксимирующим многочленом по интерполяционной формуле Ньютона и вычисления интегралов от отдельных слагаемых.
Оценка остаточного члена квадратурной формулы (1.46) показывает, что погрешность в формуле (1.42) при одном шаге имеет порядок А3, в формуле (1.43) А4, в формуле (1.44) А5, в формуле (1.45) Ав. Если же принять во внимание, что при нескольких шагах погрешности могут суммироваться, то для оиенки погрешности при п шагах
Ь — хй
надо оиенки, полученные для одного шага, умножить на п = —т—-,
что может привести к изменению указанного выше порядка погрешности.
Замечание. Можно показать непосредственным разложением по формуле Тейлора в окрестности точки х = хк, что правая часть формулы Штермера (1.42) с точностью до членов, содержащих А в степенях выше второй, совпадает с первыми тремя членами разложения ук+х по формуле Тейлора (1.41):
правая часть следующей формулы Штермера (1.43) с точностью до членов, содержащих я в степенях выше третьей, совпадает с
Ук + кУк +
(1.47)
'к +* 21 У к "г 3! У?
где
64 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. !
и т. д. Для формулы (1.42), например, получим.
У* + h>'k + у ААУ«-і = Ук + hy'k + Yh(>V - (1 AS>
или, разлагая
y;-i==y'(**-i)
по формуле Тейлора
у'(**-і) ^ У' (**) - АУ* (Xk) + j h?y"' (Xk) 4- ..". и подставляя в (1.48), получим:
y*+Ay;+TAw-y«-i)=y*+Ay;+^A2y,-TA8<+....
и следовательно, три первых члена совпадают с тремя членами разложения по формуле Тейлора (1.47).
Для начала вычисления по формулам Штермера необходимо знать значения искомой функции не в одной, а в нескольких точках (при применении формулы (1.42) в двух точках: х0 и х0-\-п, при применении формулы (1.43) в трех точках: х0, X0+-h и x0-\-2h, и т. д.). Эти несколько первых значений могут быть вычислены методом Эйлера с уменьшенным шагом или путем использования формулы Тейлора (1.41), или кратко изложенным ниже методом Рунге.
Возьмем для определенности формулу (1.44):
Уй+1 = У* + Ok + J Д<7«-і + л2^-2 +1" Д?<7*-з
и предположим, что, кроме заданного начального значения у0> уже найдены уг у2 и у3. Тогда можно вычислить:
Яо = /(хо' Уо)«- (Ji=Z(X1, уOh, 42= f (х2. y2)h, q3=f(x3, Уз)А.
а следовательно, и
д<7о = <7і—<?0' Д<7і=?2 —<7і. м2 = Чз—Чі' A2Q0 = Aq1-Aq0, A^q1=Aq2-Aqx, A3q0 = A2qx — A2q0.
Теперь по формуле (1.44) вычисляем значение у4, зная которое получим qv Aq3, A2q2, A3O1. Затем по той же формуле (1.44) вычисляем у5 и т. д.
