Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
е) р = 6 sin ф; ж) sin ф = -^-; з) sin ф = 1; и) р = a sin 2 ф. Сделайте схематические чертежи.
7
§ 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1. Основные сведения из теории 1°. Закончите утверждения:
1. Уравнение (х — а)2 + (у — Ь)2 = R2 определяет ... радиуса... с центром в точке ... .
2. Уравнение окружности с центром в начале координат принимает следующий вид: ... .
2°. Закончите определение:
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых есть ... .
3°. Сделайте схематический чертеж эллипса, заданного канони-
X2 у2
ческим уравнением — + — = 1,
а2 Ь2
где а — _
Ъ = уср — с* — ..., с — ... (с ... а),
а
причем для любого эллипса е ... 1. 4°. Закончите определение:
Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых есть ... .
5°. Сделайте схематический чертеж гиперболы, заданной канони-
X2 у2 <
ческим уравнением--— — I,
где а — а* 62
Ь = Vc2 — а2 — с — ... (с ... а),
с
8 =--
а
причем для любой гиперболы є ... I.
Уравнения асимптот гиперболы: у = ± ... . 6°. Закончите определение:
Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки, называемой ... до некоторой фиксированной прямой, называемой... .
7°. Сделайте схематический чертеж параболы, заданной уравнением у2 = 2рх, где р —
с — — — ...
Уравнение директрисы параболы х = ... . Для любой параболы є ... I.
8°. Дано полярное уравнение конического сечения р =---,
I—Є COS ф
где р, ф— ... произвольной точки сечения, р — фокальный... (поло-
Рис. 9 Рис. 10
вина фокальной хорды сечения, перпендикулярной к его оси). Укажите величину эксцентриситета 8 для: 1) окружности, 2) параболы, 3) эллипса, 4) одной ветви гиперболы.
II. Примеры и упражнения
1. Напишите канонические уравнения кривых второго порядка, изображенных на рисунках 6—10.
2. Окружность задана уравнением х2 + У2 — 4х + 2у — 20 = 0. Найдите путем выделения полного квадрата координаты ее центра и радиус. Сделайте схематический чертеж.
X2 V2
3. Эллипс задан уравнением ^ + Y? = Найдите величины а, Ь, с и 8. Сделайте схематический чертеж.
X2 V2
4. Гипербола задана уравнением — — = 1. Найдите величины
а, Ь, с, 8 и составьте уравнения асимптот. Сделайте схематический чертеж.
5. Парабола задана уравнением у2 = 12л:. Найдите координаты фокуса параболы и составьте уравнение ее директрисы. Сделайте схематический чертеж.
6. Установите, какие геометрические фигуры определяются следующими уравнениями:
а) X2 + У2 — 2х + 4у — 20 = 0;
б) X2 + у2 + 6х — 4у + 14 = 0; _
в) X2 + у2 — Юх + 4у + 29 = 0; г) у = ]Лб — х2; _
д) у = —V9 — X2; е) у = —2—V9 — х2; ж) х = — 2+]А— у2; з) 9х2 + 16у2 = 1; и) 4х2 + 9у2 = 36;
9
к) У =--/49 — х2\ л) 9х2 — 25у2 = 1; м) 4л:2 — у2 = Ш;
н) у = —3 ]/+ 1; о) у2 = — \х\ п) у = —3 К2х; р) * в 4 ]/— у.
7. Напишите уравнения касательных, проведенных из начала координат к окружности х2 + у2 — 1Ox — 4у + 25 = 0.
Решение.
1. Уравнение прямой, проходящей через начало координат: ... .
2. Найдем точки пересечения прямой и окружности, решив совместно систему уравнений
[х2 + у2 — Wx — 4у + 25 = 0, \У = •
3. В случае касания две точки пересечения сливаются в одну, поэтому корни полученного уравнения должны быть действительными и равными, а значит, дискриминант уравнения D = ... . Составив дискриминант и приравняв его ... , решим полученное уравнение и найдем значение параметра: ... и ... .
4. Уравнение искомых касательных: ... .
8. Определите, какие линии заданы следующими уравнениями в полярных координатах:
а) р =-р-; б) р 2
1 1 — COS ф
1 — — COS ф
ч 5 ч 6
в) P =---; г) р = --;
4 3 — cos ф
1 — — cos ф
ч 1 ч 1
2 — 3 cos ф 2 — 2 cos ф
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Составьте уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
а) центр окружности совпадает с началом координат и прямая Зх — 4у + 20 = 0 является касательной к окружности;
б) окружность проходит через точки А (3; 1) и В (—1; 3), а ее центр лежит на прямой Зх — у — 2 = 0;
в) окружность проходит через три точки А (1; 1), В (1; —1), С (2; 0).
2. Составьте уравнения окружностей, которые, имея центр на прямой \х — 5у — 3 = 0, касаются прямых 2х — Зу — 10 = 0 и За: — 2у + 5 = 0.
3. Составьте каноническое уравнение эллипса, если: а) 2а = 12,
3 3
2с = 10; б) 2с = 6, 8 = —; в) 2Ъ = 16, s = —; г) расстояние между его
5 5
IO
директрисами равно 32, а 8 =-Ь д) расстояние между его директрисами равно 13, a 2Ь = 6.
4. Дан эллипс 9х2 + 25у2 = 225. Найдите: а) его полуоси; б) фокусы; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.
X2 V2
5. Докажите, что точка M (—4; 2,4) лежит на эллипсе — + — =1.
v 25 16
Определите ее фокальные радиусы.
