Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение отметим, что некоторые полезные способы построения доверительных интервалов для Re/flb(A.) и lmfab(k) можно вывести из приближений, которые рассматривали Freiber-ger (1963), Rosenblatt (1960) и Gyires (1961).
7.6. Оценки родственных величин
Пусть задан r-мерный стационарный рядХ(/), tf = 0, ±1, ... » с ковариационной функцией схх(и)9 и=09 ±1, ... , и матрицей спектральной плотности ixx{X), —оо<а<оо. Иногда представляют интерес оценки параметров, процесса
2л
Jab{A)=\A{a)fab{a)da (7.6.1)
о
для некоторой функции Л (а), я, 6=1, ... , г. Так, например, такими параметрами могут быть ковариационные функции
2л
Cab (U) = J еХР {Ша\ fab (<*)**, И = 0, ± 1, . . . , (7.6.2)
6
или спектральные меры
А,
F аъ (Я) = \ fab (0O da, 0<Я<2я, а, 6=1, ... , г. (7.6.3)
о
Пусть 1$(Х) есть периодограмма отрезка данных
W (Я) = (2ЯТ)-1 Д Ха (/) ехр {- ІЩ j( Д Xb (0 ехр { - Ш} J ,
(7.6.4)
тогда за оценку для Jab(A), очевидно, можно принять
КЧА) = ^- E А (Щ /«J» (Щ , а, Ь= 1, ... , г. (7.6.5)
S=I ^ ' ^ '
Для этой статистики справедлива
Теорема 7.6.1. Пусть r-мерный ряд X(Z), t = 0, ±1,...,
удовлетворяет условию 2.6.1. Если функции Aj (а), 0^а^2я, имеют ограниченную вариацию для всех /= 1, ...,./, то
E/JP (Л,.) = * 2 Л,- /аь (^)+0(I)
S=I
2л
= j Л/(а)/аЬ(а)аа + о(1), /= 1, ... , /, о
(7.6.6)
cov{JZk(Aj), ЛТХ(Ак)\
2я
= Щ. j Л, (а) Л7(?) /в1в> (а) /Mj (- а) da
О
2л
+ ^ J Л,- (а) Лл(2я-а)7вЛ(а) /м,(-а)da
О
2я2я
+ ^Jj Л, (a) 3MPJfe,MA(a, -a, -$)dadfi + o(T-*). (7.6.7)
О о
Кроме того,асимптотически Jfy (Лу), /=1, ... , </; а, 6=1, .... , г,
имеют совместное нормальное распределение с указанными выше моментами первого и второго порядков.
Согласно теореме 7.6.1, статистика J$ (Aj) является асимптотически несмещенной состоятельной оценкой для Jab(Aj). Она основана на дискретном преобразовании Фурье и поэтому ее можно получить, используя преимущества алгоритма быстрого преобразования Фурье. Если выполняется условие 2.6.2(/), то остаточные члены, как и в теореме 5.10.1, имеют порядок О (Г"1) и 0(T"2).
В случае оценки
F& (*) = f- " S /tf>(^) <7-6-8>
спектральной меры Fab(k), соответствующей функции Л(а)=1 при 0 ^A, и A (a) = 0 в остальных случаях, выражение(7.6.7)
для О < X9 \i < я; Ci19 bi9 а29 Ь2 = 1, ... , г дает
min (Я,. JLi)
lim T cov {F07X (К), Fill (^)} = 2я S /ал (а) /м, (- а) da
со О
+ 2я И Ь.мл(а. ~а> -Р)*"Ф- (7-6-9)
О о
Вопрос о сходимости Ffy (X) мы обсудим несколько позже в этом параграфе. В случае оценки
= ? Z ехр {^}/# (^)
= 7"1 2 [^(/ + u)-^'] [ХЬ(0-4Г)] (7-6.10)
ковариационной функции саЪ (и)9 соответствующей функции А (а) = = ехр {iua\ и в которой Ха (t) обозначает периодическое продолжение последовательности X(O), ... , X(T — 1), из выражения (7.6.7) следует, что для U9 V = O9 ±1, ...
Hm Tcov(саТХ(и)9 ^Jl(V))
2л
= 2я J ехр {i(u- V) a} faiu2 (а) fb%b% (— a) da * о
2л
+ 2я 5 ехр {— і (и + V) а} /віЬі (а) /Мв (— a) da о
2л 2л
+ 2я$ Jexp{j(«a-^)}/eiMA(a,-a, -P)dadp\ (7.6.11)
О о
В упр. 7.10.36 показано, что оценка ковариации
C^(W)=T-1 S [X (* + и)-CT][X(O-CJT (7-6.12)
О < /, t + u < T-I
асимптотически нормальна и имеет ковариационную структуру (7.6.11).
Полезно в качестве параметров ввести следующие величины:
Rab (Х) ^ [faalTh^W12 ' (7'6J3)
где — oo<>,<oo; 1 a < b ^ г. Величина Rab(X) называется когерентностью ряда Xa(t) с рядом Xb(t) частоты Я. Иногда мы будем называть когерентностью ряда Xa(t) с рядом X6(Z) частоты X также и квадрат модуля этой величины
\Rab(X)\2. Интерпретация параметра Rab (X) дается в гл. 8. Эта^ величина является комплексным аналогом коэффициента корре-? ляции. Ее оценку дает выражение
В том случае, когда используются приведенные в § 7.4 оценку спектральной плотности, справедлива
Теорема 7.6.2. При соблюдении условий теоремы 7.4.3 длН\ RaV (Я), заданной формулой (7.6.14), справедливы соотношения
ave Я# (X) = Rab (X) + О (B7) + О (B7-1T-*), (7.6.15)
cov да R^(V)}
— [1I {^""(1} [RacRdb ~—~2 RdcRacRcb "2 ^dcRadRdb
Y RabRacRda 2 ^abRbcRdb + "4" RabRdcRacRca + + "4" RabRdcRadRda + "4" RabRdcRbcRcb + "4 RabRdcRbdRdb ^ + Л {Я + (X } ^ RadRcb —4" RcdRacRcb ~~ ~2 ^cdRadRdb RabRadRca "9* RabRbcRdb
2 хabiyad±xca 2 + 4 RabRcdRacRca + J RabRcdRad^da
+ "J" RabRcdRbcRcb + J RabRcdRbdRdb^J j
Х2я ^(а^йаВг^ + О^Т4-») (7.6.16)
Эля а, Ь, с, d= 1, ... , г. Переменные RaV (X), a, b= 1, ... , г, имеют асимптотически совместное нормальное распределение с ковариационной структурой, задаваемой выражением (7.6.16), где для краткости пишется Rab вместо Rab(X), а, b=\, ... , г.
Асимптотическую ковариационную структуру оценок коэффициентов корреляции рассматривали Pearson, •Filon (1898), Hall (1927) и Hsu (1949) для случая векторных переменных с действительными компонентами. Очевидно, можно развить иную тео-рию предельных распределений, взяв за рснову оценку и предельные распределения Уишарта по теореме 7.3.3. Такое распределение рассматривал Fisher (1962) для случая векторных пере* менных с действительными компонентами. Из теоремы вытекает
