Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
X2 (Z) = OcX1 (Z -V) + 8 (Z), (7.7.30)
Z = О, ±1) величины a, v — постоянные и ряд ошибок є (Z)
ортогонален ряду X1(Z). Тогда кросс-спектр задается выражением
fn (X)= ехр {—iXv}afu (X)
= cos {Kv} afn (X) — і sin {Kv} afu (X). (7.7.31)
Если выбрать должным образом v, то функция f21 (X) будет быстро менять знак при изменении X. Любое взвешенное среднее этой функции, такое же, как (7.7.13), будет близко к 0. Отсюда можно заключить, что между исследуемыми рядами нет никакой связи, в то время как на самом деле имеется сильная линейная связь.. Akaike (1962 а, Ь) предполагал, что подобная ситуация возникает при рассмотрении ряда X1 (Z) с запаздыванием приблизительно на V временных единиц. Другими словами, вместо исходного отрезка ряда анализируется ряд [X1(Z — v*)y X2(Z)], Z = O, ±1, где V* близко к v. Это —один из видов предварительной фильт-
аЬ
\ Pt У
ab
\Рт
¦0. (7.7.29)
рации. Akaike предполагал, что на практике v* может быть определено как запаздывание, при котором \c2Ti (и) | максимально. Если оцениваемое запаздывание хоть где-нибудь близко к V1 оцениваемый кросс-спектр должен быть гораздо менее быстро меняющейся функцией.
В § 5.8 отмечалось, что фильтр, приводящий интересующий нас ряд к белому шуму, может быть подогнан по авторегрессионной схеме для этого временного ряда. Nettheim (1966) предложил подобную процедуру при оценках кросс-спектра. Осуществив подгонку модели
X2 {t)±a(m) X1 (t-m) + ... +а(0) X1 (t)+ ... + а(— гь) X1 (t + n)
(7.7.32)
методом наименьших квадратов, оценим кросс-спектр остатков и X1(O- В более общем случае r-мерных рядов можно определить г векторов а(Г>(1), а<Г) (т), минимизирующих выражение
2 [X (0— а(Г) (I)-X (/— 1) —... — ът (т) X (t-m)]x
t=m
X [X (0 -а(г> (1) X (t— 1) - .,. -а(г> (т) X (т) X (t—m)]. (7.7.33)
Затем, построив спектральную оценку f??} (X) по ряду остатков
е (0 - X (0 -а(г> (1) X (* - 1) - ... — а<г> (m) X (* - т), (7.7.34) для f = m, 71—1, оценим fxx(X) посредством
А(Г> (X)-1 f& (Х)(А^> (X)-^, (7.7.35) где для — оо < X < OO
А<г> (X) = I -а(Г) (1) ехр {-ІЦ— ... -а(Л (т) ехр {-*XmJ. (7.7.36)
Обычно для интересующего нас ряда полезно, предложив на основании предварительных сведений статистическую модель, провести ее подгонку, а затехМ вычислить спектральную оценку по ряду остатков.
В заключение обратим внимание на связанную с подменой частот сложность, встретившуюся в § 5.11. Заметим, что теоретический параметр іхх(Ц и его оценки обладают свойствами и периодичности, и симметрии:
ixx (X + 2я) = f„ (X); fхх (- X) = fхх (X)*,
ГРх (Ъ + 2п) = f& (X); Wx (- X) = \Тх (X)*. (7.7.37)
Это приводит к тому, что популяционный параметр и его оценки по существу совпадают для частот
±Х, ±Х ±2л, ±Х ±4я, .... (7.7.38)
10* !
8
6 5 4
2
1.5
1.5
!О"1 1 I_1_1_LJ_I_I I I I 1 1 1 I I I 1 1 1 I
О Л .2 .3 А .5
Л/27Ґ
Рис. 7.8.1. Оценка /Jp(X) для сезонно приведенного ряда среднемесячных
температур Берлина за 1780—1950 гг. с осреднением по 21 ординате периодограммы (логарифмический масштаб). (По горизонтали— частоты в цикл/месяц.)
ІЇ
-Аг
Х/2я
Рис. 7.8.2. Оценка /2р (Я) для сезонно приведенного ряда среднемесячных температур Вены за 1780—1950 гг. с осреднением по 21 ординате периодограммы (логарифмический масштаб). Що горизонтали —частоты в цикл/месяц.)
Если это возможно, то предварительно ряд подвергают преобразованию с помощью полосно-пропускающего фильтра для устранения тех частотных компонент, которые могут при интерпретации спектральной оценки стать причиной путаницы.
7.8. Рабочий пример
Чтобы привести пример полученной в § 7.3 оценки, обратимся к рядам, рассмотренным в § 7.2, где ряд X1 (t) представлял собой сезонную выборку среднемесячных температур в Берлине (1780—1950), a X2 (t) —сезонную выборку среднемесячных температур в Вене (1780—1950). На рис. 7.2.1—7.2.4 приводились периодограммы и кросс-периодограмма для этих рядов.
На рис. 7.8.1—7.8.4 этого параграфа изображены графики fiP (X), ЯР (X), Re ЛР(Х), Im^p(A,), для построения которых использовались оценки вида (5.4.1) и (7.3.2) при #г=10. Из выражения (5.6.15) следует, что для десятичного логарифма обеих оценок спектра мощности стандартные ошибки равны приближенно 0.095. Интересно сопоставить форму Re /?р (X) и 1тДР(Х); в то время как значения Re/ip(X) всюду положительны и примерно постоянны, за исключением заметных всплесков в нескольких частотах, Im^1P(A) просто колеблется около нуля, наводя на мысль, что f12 (X)=O. Другие статистики для этого примера приводились в § 6.10.
Мы приведем здесь также оценки авто- и кросс-ковариационных функций этих двух рядов. На рис. 7.8.5 представлена оценка автоковариационной функции для ряда среднемесячных температур в Берлине с исключением сезонных эффектов. Подобная оценка автоковариационной функции для ряда, соответствующего Вене, приведена на рис. 7.8.6. На следующем рисунке (7.8.7) изображен график функции cjp (и) для w = 0, ±1, ... .
