Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 78

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 163 >> Следующая


1 ^ / < k ^ J. Тогда Ixx (Ay), / = 1» • • •> J9 являются асимптотически независимыми величинами с распределением (1, fxx'(Xy)). Если, кроме того, X = ± я, ±3гс, ..., то 1(хх(М асимптотически имеет распределение Wr(l, ixx (X)) и не зависит от предыдущих переменных.

Распределение Уишарта было- введено в § 4.2, там же были рассмотрены различные его свойства. Как видно, в последней теореме предельное распределение непосредственно зависит от fxx(X). Однако распределение Уишарта с одной степенью свободы довольно сильно растянуто относительно fxx (X). Поэтому llxx(h) нельзя рассматривать как удовлетворительную оценку.

Интересно отметить, что предельное распределение в теореме 7.2.3 не содержит используемой в статистике сглаживающей функции. Предельное распределение не зависит от сглаживающей функции, однако, как показывает выражение (7.2.7), вид сглаживающей функции влияет на смещение оценки при конечных размерах выборки. Отсюда следует, что наличие близких пиков спектральной плотности fxx(X) требует использования сглаживания для повышения разрешающей способности.

Рассматриваемые в теореме 7.2.3 частоты не зависят от Т. Приведенная ниже теорема указывает асимптотическое распределение в случае, когда некоторые из частот стремятся к X при 7—^оо. Вернемся к случаю, когда сглаживание отсутствует.

Теорема 7.2.4. Пусть \(t), t = 0, ±1, ..., есть г-мерный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1, и для —оо < X < оо выполняется

IXX (X) = (2яЗТ*(д X (0 ехр {— X (*) ехр {- iXt{J.

(7.2.15)

Предположим, что Sy (T) — целое число, причем X7- (T) = 2rcsy (T)IT стремится к Xj при T оо для j= I9 ..., J, и что 2Xj(T), Xj (T) ± Xk (T) ф 0 (mod 2л) для 1 ^ / < k < J и достаточно больших Т. Тогда Yxx (Xy (T)), /=1, J9 являются асимптотически независимыми величинами с распределением (1, \хх (Xj)), J=I9 •.¦.., J. Аналогично если X= ± л, ±3я, то Vpx (X) асимптотически имеет распределение Wr(lt fxx (X)) и не зависит от предыдущих переменных.

Наиболее важен случай, когда Kj = 1K для / = 1, ..., J. Здесь теорема указывает источник J асимптотически независимых оценок iXy(K). Справедливость этой теоремы можно было предполагать на основании теоремы 4.4.1, в которой указывалось, что (t)exp {— UKj (T)}, j = \, суть асимптотически неза-

висимые переменные, распределенные по (О, 2пТ\хх (Kj)).

Мы привели теорему 7.2.4 в случае несглаженных переменных только для того, чтобы избежать некоторых технических трудностей. Случай сглаживания переменных и зависящих от T частот можно найти в работе Brillinger (197Ob) и в упр. 4.8.20. Существенное требование для получения асимптотической независимости состоит в том, что Kj(T) — Kk(T), 1 не могут стремиться к нулю слишком быстро.

Теоремы 7.2.3 и 7.2.4 дают, в частности, маргинальные распределения, определенные ранее в гл. 5 для периодограммы 1$ (К).

Приведенная ниже теорема показывает, как можно построить L асимптотически независимых оценок fxx (К) в том случае, когда данные предварительно сглажены. Мы разделим все* данные на L непересекающихся интервалов, каждый из которых содержит по V сглаженных наблюдений, и построим периодограммы для каждого такого интервала.

Теорема 7.2.5. Предположим, что r-мерный векторный ряд \(t), t = 0, ± 1, ..., удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть функция ha (и), — оо < и < оо, равна нулю при и < 0, и ^ 1 и удовлетворяет условию 4.3.1. Если, кроме того, для 1 = 0, ...,L-I

выполняется

ITx(K I) = [{2лН%>(0)\-ЫУ(Х, I)Of^)Ti)], (7.2.16.)

где

V-I

d?>(K I)=^h0 (у \ X0 (p-f/V) ехр {— ЇК (v + lV)\, (7.2.17)

v=0 ^

то VPx(K I)у 1 = 0, L—1, при V->oo являются асимптотически независимыми переменными с распределением (1, ixx (К), если КфО(mod п), и асимптотически независимыми переменными с распределением Wr (1, fxx (К)), если K= ± зх, ± Зл, ... .

Отметим еще раз, что предельное распределение не содержит Функции сглаживания, несмотря на то что она существенно используется в dbV)(K, I) при построении Vpx(K, /).

Комплексное распределение Уишарта ввел Goodman (1963) как аппроксимацию распределения спектральных оценок в случае многомерных рядов. Brillinger (1969с) получил Wcr(\, fxx(K)) как предельное распределение матрицы периодограмм второго порядка.

На рис. 7.2.1—7.2.5 приведены периодограммы и кросс-перио-Дограммы некоторых двумерных рядов. Ряд X1 (/) есть сезонная

Х/2Я

Рис. 7.2.3. Действительная часть кросс-периодограммы температур Берлина с температурами Вены. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

















































































































































HLL
Ir "
LPL



-Д-

г






















Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed