Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для асимптотических распределений справедлива
Теорема 7.4.4. Если выполнены условия теоремы 7.4.1, условия 2.6.1 и B7T-+оо, В7->0 при T-+ооу то Vpx(X1), ->,iPx(h) имеют асимптотически совместное нормальное распределение с ковариациями, заданными выражением (7.4.17).
Из выражения (7.4.17) следует, что оценки f/xM, Vpx (\i) асимптотически независимы при X+ |і ф 0(mod2я). В случае Я ^O (mod я) оценка Vpx[X) принимает действительные значения и ее предельное распределение будет действительным нормальным.
В § 7.3, исследуя оценку с осреднением по 2т-(-1 ординатам периодограмм, мы получили в пределе распределение Уишарта с 2т+1 степенями свободы. Этот результат полностью согласуется с результатом теоремы 7.4.4. Оценка (7.4.4) является по существу взвешенным средним ординат периодограммы частот окрестности точки X ширины 0(B7). В данном случае таких ординат будет 0(B7T) в противоположность ранее рассмотренным 2т+ 1. Распределение Уишарта приблизительно нормально при больших числах степеней свободы. Из предположения B7T—> oo вытекает, что оба этих распределения по существу одинаковы. Предположим, что во всех оценках используется одна и та же весовая функция Wab(а) = W (а). Для сравнения выражений (7.4.16) и (7.3.13) удобно положить
2m.+ l = |g WiT) {Ь-щ ]2/|Х ^(Г) (^-2T-5)2 •
~77J2nJ W^(a)4a\ К о ;
~В7т\{2п\W(a)4a). (7.4.21)
Образуя оценки по аналогии с формулами (7.4.4) или (7.4.18) и заменяя 2m+1 по формуле (7.4.21), мы получим их приближенные распределения в виде (2т+ I)-1Wf (2т+ 1, іух(Я)), если X=?0(modjx) и (2т)-xWr (2т, f^x(^)), если X = O (modя). Асимп-
тотическую структуру моментов первого и второго порядка, а также совместное распределение состоятельных оценок спектра второго порядка рассматривал Rosenblatt (1959). Связь между асимптотической теорией и некоторыми эмпирическими аспектами изучал Parzen (1967с). Развитию асимптотического распределения спектральных оценок, основанных на сглаживании временных рядов, посвящен § 7.7.
7.5. Построение доверительных границ
: После того как мы определили некоторые предельные распределения оценок ffy(Я) спектра второго порядка, обратимся к построению доверительных границ для величины fab (Я) с использованием этих распределений. Начнем с оценки § 7,3, В случае Я ф О (mod я) оценка имеет вид
т
/<P(A) = (2m+l)-i ? /<?> + (7.5.1)
S= -т
для таких целых S(T)1 что 2ns(T)/T близко к Я. К такой оценке мы пришли на основании теоремы 7.2.4, из которой следует, что величины
W(2n[s(P+s]), S = О, ±1.....±«, (7.5.2)
можно рассматривать в качестве 2т +1 независимых оценок для fab (X). Имея набор приближенно независимых оценок интересующего нас параметра, не представляет труда построить доверительные границы. Рассмотрим, например, случай 0 = Re/ab (Я). Положим для s = 0, ±1, ±т
В качестве оценки для 0 возьмем
т
Q = Re/^' (X) = (2m+ I)-1 2 8,. (7.5.4)
S= -т
Положим
52= (2т)-12 (0,-0)2. (7.5.5)
S
Даже в том случае, когда основные переменные Q3 не являются нормальными, статистическая практика показывает (см. гл. 31 в книге Kendall, Stuart (1961)), что распределение переменной
' (7.5.6)
может быть аппроксимировано /-распределением Стьюдента с 2т степенями свободы. Это приводит к следующим 100|3-процентным доверительным границам для 9 = Re fab (Я):
где tv (у) означает 100у-процентиль /-распределения Стьюдента с у степенями свободы. В случае X = 0 (mod я) также воспользуемся теоремой 7.2.4.
Положив- для s = 0, ±1, ±т
0>lm/'?>(2*'f >+*'), (7.5.8)
можно аналогичным образом получить приближенный доверительный интервал для квадратурного спектра lmfab(X).
Тесно связанный с рассмотренным метод построения границ приближенного доверительного интервала следует также из теоремы 7.2.5. В этом случае статистики I%} (X, I)9 Z = I, L9 для 'Я ф 0 (mod 2я) дают L приблизительно независимых оценок fab(X). Поступая как прежде, положим O = Re/^ (Я),.
®i — 1$ (Я, /), I=I9 ...,L9- (7.5.9)
S=Re^(X) = L-1 ^Q19 (7.5.10)
5»= (L-I)-1S(Si-S)». (7.5.11)
После этого аппроксимируем распределение величины
6-9 SIVl
(7.5.12)
/-распределением Стьюдента с L—1 степенями свободы и найдем требуемые границы. Приближенные доверительные границы для квадратурного спектра \mfab(X) находятся аналогично.
Результаты теоремы 7.4.4 и упр. 7.10.8 приводят к несколько иному способу построения. Пусть Я^0(modя) и оценка JaV[X) задана выражением (7.4.4). В таком случае согласно упр. 7.10.8 распределение Re/^ (Я) будет приближенно нормальным со средним Re fal} [X) и дисперсией
а2 = (B7Tr1U J W (а)2 da [faa (X) fbb (X) + {Re fab (Я)}2- {Im fab (Я)}2].
(7.5.13)
Выражение (7.5.13) допускает следующую оценку:
6* = (B7T)-* я j W (a)» da [/?> (?) flj> (X)
+ {Re {X)Y- {Im /Й' (X)}»], (7.5.14)
откуда можно приближенным образом получить 100|3-процентный доверительный интервал
(7.5.15)
где г (у) означает ЮОу-процентную точку распределения стандартной нормальной величины. Приближенный интервал для квадратурного спектра lmfab(K) можно получить аналогичным образом.
