Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 86

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 163 >> Следующая


Оценки кросс-спектра от величин sgnXx(0, sgnX2(t), t = 0y 7і —1, двумерного гауссовского ряда со средним 0 рассматривал Brillinger (1968). Было получено асимптотическое распределение оценки (7.7.10) без сглаживания.

В некоторых случаях может оказаться интересным, насколько fab (Ц может отклоняться как функция X и T от своего математического ожидания. Начнем с изучения периодограмм второго порядка. В теореме 4.5.1 отмечалось, что в некоторых условиях регулярности для ряда с нулевым средним выполняется с вероятностью 1 неравенство

Ш$ир\й{атиЦ |/(74og7y/2 ^2(2п)\ha (tfdt sup faa (X))^,

(7.7.19)

Отсюда следует

Теорема 7.7.2. Пусть r-мерный ряд X(Z), ? = 0, ±1, ...»

с нулевым средним удовлетворяет условию 2.6.3, а функция —°° < и < оо, удовлетворяет условию 4.3.1, а= 1, ..., г. Пусть \хх(Х) задано выражением (7.2.5). Тогда

Jm sup I /?> (X) (/log T < 4 {I 5 Mt) hb (t) ЛІ}"*

X { J ha(tfdt S hb (tydt}1'* {sup/ae (Я) sup fbb (X)}1'2 (7.7.20) выполняется с вероятностью 1 для a, &= 1, ..., г.

Whittle (1959) определил вероятностные границы для периодограмм второго порядка, см также Walker (1965). Parthasarathy (1960) нашел границу вероятности 1 заданной ординаты периодограммы и показал, что такая выделенная ордината может расти как log log Г, а не как log Г в (7.7.20). Прежде чем перейти к изучению поведения fjb (X) — Е/аР (К), сформулируем условие, близкое по характеру к условию 2.6.3, относительно ряда Х(/), * = 0, ±1, ... :

Условие 7.7.2. Пусть r-мерный ряд X(t), tf = 0,'±l, ...,

удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть для величин Cn, заданных выражением (2.6.7), выполняется

2Д2С.,...С»,)гЫ!<«> . (7-7.21)

для z в некоторой окрестности 0. Внутреннее суммирование в (/.7.21) производится по всем неразложимым разбиениям V = (л^, ..., Vp) таблицы

1 2 3 4

(7.7.22)

2L— 1 2L

с vp, состоящим из пр> 1 элементов, /7=1, Р.

В случае гауссовского процесса имеет место Cn = 0, п > 2, и (7.7.21) обращается в

qo

2 2L~X (L- 1)! C\zLjL\. (7.7.23)

L=I

Этот ряд сходится при 2C2|z|< 1, так что условие 7.7.1 выполняется в этом случае, если только выполнено условие 2.6.1. Справедлива

Теорема 7.7.3. Пусть r-мерный ряд X (t) удовлетворяет условию 7.7.2; ha (и), —оо < и < оо, удовлетворяет условию 4.3.1 для а= Г, г, wab(u), — оо<н<оо, а, 6=1, г, удовлетворяет условию 7.7.Г w обращается в 0 Зля достаточно больших \и\\ оценка ffi (X) определена формулой (7.7.10). Тогда для задан-

ного х\ > 0, такого, что ^7B7 <оо, выполняется Hm sup І /ІР (X) - E/S) (X) I (B2T / log 1/Вг)1/2

< [(1 + л) 8я J Г rt(a)« da {J Ae (t) hb (t)dt) ~*

X J К (tyhb (tf dt sup faa (X) sup /ь* (X)]1/2 (7.7.24)

с вероятностью 1 Зля а, 6=1, г.

Если 2lwllceb(M)l < °°' и ^МІ^ь^00» то из теоремы 3.3.1 и выражения (7.7.13) следует соотношение

ЩІГ (X) = fab M + О (B7) + О (Bf1T-I), (7.7.25)

так что с вероятностью 1 выполняется равенство

faV (X) = fab (X) + О (ВТ) + О ([BTT/\og MB7Y^ ,' (7.7.26)

в котором остаточные члены равномерны по X.

Как видно из теоремы 7.7.3, оценка faTb (X) в сильном смысле состоятельна. Как показали Woodroofe и Van Ness* (1967), в некоторых условиях регулярности, включающих линейность процесса X(t), по вероятности выполняется равенство

Ш (BTT/\og MBTyi* sup I /?> (k)-faa (X) \iu W

7->oo Я

= [4л J W (a)2 da]1/2. (7.7.27)

Здесь рассматривается случай несглаженных данных. Они исследовали также предельное распределение максимального отклонения.

При более слабом условии 2.6.1 справедлив более грубый результат:

Теорема 7.7.4. Пусть r-мерный векторный ряд \(t), t = О, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1, функция ha(u), —оо

< и < оо, удовлетворяет условию 4.3.1. Предположим, что wab (и), ~—оо < и < оо, а, 6=1, г, удовлетворяет условию 7.7.1 и обращается в О для достаточно больших значений \и\9 оценка ffy (к) задается формулой (7.7АО). Пусть B7T-> оо, B7->0 при T->оо. Тогда для любого е>0 при Т—+оо имеет место сходимость по вероятности:

(B7TYl' В\ sup I faV (X) - Ef(X) I 0. (7.7.28)

Если, кроме того, для некоторого т > О выполняется условие 2г#г<оо, то событие (7.7.28) выполняется при T —* оо с ее-роятностью 1.

В теореме 7.7.4 вместо множителя (BTT/\og \/ВТ)1/2 из ра^ венства (7.7.27) использован несколько меньший множитель^ (B7T)1/2 В\.

Если мы желаем использовать оценку (7.4.5), и нас устраи^ вает максимум по дискретному множеству точек, то имеет местом

Теорема 7.7.5. Пусть r-мерный ряд X(Z), Z = О, ±1, . ..,-j

удовлетворяет условию 2.6.1, Wab(a), —оо<а<оо, удовлетво^ ряет условию 5.6.1, оценка fJb (X) определена формулой (7.4.5), и ВТ —> О, P7, B7T —> оо при T —+ оо. Тогда для-любого є > 6 при T —+ оо имеет место сходимость по вероятности: рт- і

(B7TyI* Pt* sup

Если к тому же 2гР?т<оо для некоторого т > 0, то событие (7.7.29) выполняется при Tоо с вероятностью 1.

В § 5.8 мы обсуждали важность выполненной до построения спектральной оценки предварительной фильтрации. Выражение (7.7.13) еще раз подтверждает это. Математическое ожидание величины fob (К), вообще говоря, не совпадает с fab(k) и является всего лишь взвешенным средним от fab(a) с весом, сконцентри* рованным в окрестности точки X. Если fab (X) имеет значительные всплески или впадины, то взвешенное среднее может Довольно сильно отличаться от fab(h). На практике часто случается, что кросс-спектры имеют большие значения, чем спектры мощности. Рассмотрим часто встречающуюся ситуацию, когда X2 (Z) является по существу запаздывающей версией ряда X1(Z), например,
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed