Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
/2> W = T- ? (*-т?) /3і (т-5). (7-4.5)
S=I ^
где
WH-fir1 S 1^вь(Вг1[а+2я/]). (7.4.6)
./= qo
Оценка (7.4.4) является, очевидно, взвешенной периодограммой, сосредоточенной в окрестности точки Я ширины 0(ВТ). Позднее мы потребуем, чтобы B7—+0 при T—> OO. В качестве оценки для іхх (Я) рассмотрим
ГРхМ^Шїт (7.4.7)
В случае когда WаЬ(а) — четная функция, т. е. Wab(— a)= WаЬ (а), эта оценка имеет те же свойства симметрии и периодичности, что и функция fxx(Я). Добавим также, что если матрица [И?а6(а)] неотрицательно определена для всех ос, то іХх(Ц и іхх (Я) также неотрицательно определены; см. упр. 7.10.26. Справедлива
Теорема 7.4.1. Пусть задан r-мерный векторный ряд Х(/), / = 0, ±1, со средним EX(Z) = Cx и ковариационной функцией cov {X (t + u)9 X(t)} = cxx(u)9 tf U = O9 ±1, ... . Допус-
тим у что
2 |сх*(и)1<°°-
(7.4.8)
Если fp(Я) определена выражением (7.4.5) с функцией Wab(a)\ а, &=1, г, удовлетворяющей условию 5.6.1, и B7-^O при T —* оо, то Зля а, b = 1, ..., г
-Я S= 1
,/2ns
Х(2яТ)-1
sin Г
sin (^Y- — а ]/2
/вЬ(а)^а— fabW- (7-4,9)
кроме того, выполняется условие
со
2 і «II <**(«)!<00.
(7.4.10)
то для —оо < А. < оо; а, 6 = 1, г, справедливо соотношение
T-I
ЕАГ(Л) W® (К-Щ fab (Щ+0(Т->)
(7.4.11)
= S Wаь(a)U(K-адda + О{Bf1T-*)
— oo
с равномерным по К остаточным членом.
Из выражений (7.4.9) и (7.4.11) видно, что математическое ожидание предлагаемой оценки является взвешенным средним функции fab(a), — oo<a<oo, с весом, сконцентрированным в полосе ширины 0(ВТ) около точки А. В случае когда Вт—>0 при 71—->oo, оценка оказывается асимптотически несмещенной. Аналогично теореме 3.3.1 можно представить асимптотическое смещение оценки (7.4.5) в виде функции от Вт. Таким образом, справедлива
Теорема 7.4.2. Пусть fab(X) имеет ограниченные производные порядка ^ Р. Предположим, что
S |a|'|lPeb(a)|da<
(7.4.12)
Если ВТ—+0 при T—> оо, то для — оо < X < оо, a, b= 1, ..., г,
справедливо
QO
S №оЬ(«)Ы^-Яг«)<*а
— oo
P-I
+ S 7Г Я? («)^^^ + 0(5?- (7.4.13)
При P = 3 и №(— а) = W (а) из приведенной выше теоремы вытекает соотношение,
(7.4.14)'
Как следует из выражения (7.4.13), с точки зрения уменьшения смещения оценки ffy (X) оказывается предпочтительным, чтобы функция fab(a) была близка в окрестности X к константе, а величины B7 и ^aPW(a)da, р = 2, 4, были малыми. Следующая теорема показывает, что нельзя выбирать B7 слишком малым, если требовать состоятельности оценки.
Теорема 7.4.3. Пусть r-мерный ряд X(Z), / = 0,' ±1,
удовлетворяет условию 2.6.2 (/), а функция WаЪ (а), — оо < а < оо, удовлетворяет условию 5.6.1; а, &=1, ...,г. Если оценка 1(аТь(Х) определена выражением (7.4.5) и B7T->оо, то для alt а2У Ь1У 62=1, г выполняется соотношение
cov {fIX (?.), fffi»}
+1" w& (>.-2f) и (?) ^ (- 2-г))
+ 0(T-1)=-^ J W<fi (X - a) а) /ві6і (а) /в,ь, (— a) da
+ S Wffi (^ - a) WZl О* +'«) («) /м, (- «) d4
-Я )
+ О (Bf2T-2) + О (T-1) (7.4.15) с равномерным по X и [і остаточным членом.
Как видно, при заданных функциях W{T) наибольшее значение ковариации достигается при X ± \х = 0 (mod 2я). Средние
в выражении (7.4.15) сконцентрированы в полосе ширины 0(B7) около точки X1 \i, поэтому ковариация приближенно может быть представлена в виде
(Л {К- /в1в. (X) fblbt (- X) + т, {A, + it} f0it>2 (X) /м, (- X))
В пределе получаем
Следствие 7.4.3. Если выполнены условия теоремы 7.4.3 и B7—> О, B7T —> оо при T —^ оо, то для — оо < X, \х < оо, а19 а2, b19 b2= 1, ..., г,
Г -> со
= 2я($И^іЬ>)«^і&>)гіа)
X (Л {Я-/etef (А) /м, (- X) + ц {X + \i\ faib2 (X) fu2bx (- X). (7.4.17)
Моменты второго порядка имеют, как нетрудно видеть, величину 0(B71T'1), и, следовательно, стремятся к нулю, когда T—> oo. Мы уже видели, что оценка оказывается асимптотически несмещенной и в то же время состоятельной. Оценки, вычисленные при частотах X9 |jt, X + |х ф О (тос12я), асимптотически некоррелированны.
Первое выражение формулы (7.4.15) можно использовать для получения ковариации по большим выборкам в случае, когда B7^2njT. Пусть WаЬ (а) обращается в нуль для достаточно больших I оьI и X=2ns(T)/T, где s(T) — целое. В таком случае оценка (7.4.4) для больших T принимает вид
T-1,W^(S(T)-S) ¦
s ф О
-Г" H Wab(s)I&(2n[s(p~s]). (7.4.18)
При WаЪ(s) = T/2л(2т + 1) и |s|<т это же выражение дает оценка (7.3.2). Очевидно, в этом случае (7.4.16) приводит к следующей приближенной формуле для ковариации:
(ТГ )2 (Ч {W} falbl W їа%Ьі (- Я) + T1 {X + V\ faibi (X) fbxa% (- X)
XS^,W^W. (7.4.19)
Частный случай (7.4.19) был приведен в теореме 5.5.2.
Комбинируя выражения (7.4.17) и (7.4.14), можно для больших выборок и X^O(modn) получить среднеквадратичное от-
клонение /^}(Я), E I ДО (Я)-Ы*) Iе '
~ БгТ-^я J И7в6 (a)* dafaa (I) fbb (X)
+ ±Bt{law(a)daY(^y. (7.4.20)
Как отмечается в упр. 7.10.30, порядок убывания B7 должен быть Т-1/б, если мы желаем минимизировать асимптотическое значение среднеквадратичного отклонения.
