Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 77

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 163 >> Следующая


где г|(-) есть периодическое с периодом 2я продолжение дельта-функции Дирака. Из (7.1.17) следует, что мы можем интерпретировать fxx(X) как величину, пропорциональную ковариационной матрице комплексного дифференциала dZx(X). Обе эти интерпретации позже будут рассмотрены как достаточно удовлетворительные оценки ixx(X).

7.2. Периодограммы второго порядка

Пусть имеется выборка T последовательных значений г-мерных векторов X(t)y t = 0, ..., Т — 1, из стационарного ряда со средним Cx и матрицей спектральной плотности fxx(?i), — оо<Х<оо. Допустим, что нас интересует оценка f„ (X). Рассмотрим оценки, основанные на конечном преобразовании Фурье

Л{Р(Ь) = №Т}(Щ = 'Y^K (f )xe(f)exp{-M}j , -оо<Ь<оо,

(7.2.1)

где функция сглаживания ha(t) стремится к нулю при достаточно больших \t\, а= 1, г. Согласно теореме 4.4.2, эта переменная имеет асимптотическое распределение

Л? (О, 2пТ'[НаЬ (O)U (X)]), если X^O (mod л),

Nr(T[Hаф)са1 2nT[Hab(0)fab(k)]), если X = O, ±2я,

Nr(0, 2nT[Hab(0)fab(k)])t если X = ± л, ±3я, (7.2.2)

где

тн а (0) = т ^ ha (t) л - S ft« (f)= Я^(0> <7-2-3)

и для а, fr = 1, ..., г

THаЬ (0) = Г jha (t) hb (t)dt ~ 2fta (т) ль (t) = H«* (°)' (7'2-4)

Эти распределения приводят к рассмотрению статистики

1? (Ц = [/?> (X)] = [{2яЯ?> (О)}-14Г) (?) ^F(X)] (7.2,5)

в качестве оценки іхх(к) в случае Я=т=0, ±2я, .... Координаты вектора Iя* (X) являются периодограммами второго порядка сглаженных значений ha(t/T) Xa(t)9 i = 0, ±1, .... Эта статистика, очевидно, имеет те же свойства симметрии и периодичности, что и fxx(k). В соответствии с этим справедлива

Теорема 7.2.1. Пусть Х(0> ? = 0, ±1, есть г-мерный ряд со средним EX(Z)=Cx и кросс-ковариационной функцией cov {X (t + u)y X (0) = Схх (и) Для t> и = 0у ±1, причем

2|Схх(")|<оо. (7.2.6)

и

Если ha(u)y — оо < м< оо, удовлетворяет условию 4.3.1 для Ci=Iy ..., г у Ix х (к) задано выражением (7.2.5), то для — оо<Х<оо,

и а, 6=1, ..., г

EnV(K) = I J Н? (a) {-a) da

X ( J Hp(a)Hp(-a)fab(X-a)da+H(J>(X)H(bT>(-l)ca>

(7.2.7)

Функция сглаживания ha(t/T) имеет такой характер, что ее преобразование Фурье Н(аТ) (X) концентрируется при больших T в окрестности частот X = О, ±2л, .... Отсюда следует, что в случае X^O (mod 2л) последний член формулы (7.2.7) будет исчезающе малым при больших Т. Первый член правой части (7.2.7) является, очевидно, взвещенным средним интересующего нас кросс-спектра fab с весом, сконцентрированным в окрестности точки X и определенным функцией сглаживания. Переходя в этом равенстве к пределу, получим

Следствие 7.2.1. Если выполнены условия теоремы 7.2.1 и \ha(u)hb{u)du^Q для а> 6 = 1, г, то справедливо соотношение

при X^0(mod2я) или сх=0.

Оценка будет асимптотически несмещенной, если ХфО (mod2n) или сх=0. Если са, сь достаточно удалены от нуля, то смещение в оценке 1ХХ (X) может быть значительным, как это явствует из вида члена выражения (7.2.7), содержащего са н сь. Этот эффект может быть уменьшен путем вычитания оценки среднего X(t) перед операцией конечного преобразования Фурье. Так, можно ввести статистику

(f) {Хв(0-4г>}ехр{-Ш}

= 4Г> (А) -4Г) (0) {I)IH^ (0), (7.2.9)

lira EI& (А-)

Г -> со

(7.2.8)

в которой для а=1, г выполняется

2>а (-Jr)xe(o/Sft. (т)>

(7.2.10)

и статистику

Х{4г,(4-4г,(0)йіг,(адг,і0}] (7.2.11)

в качестве оценки fyx(X)-

Асимптотическое поведение ковариации двух элементов 1? (X) в случае ряда с нулевым средним дает

Теорема 7.2.2. Пусть X (t), t = 0, ±1, .... является г-мерным рядом, удовлетворяющим условию 2.6.2(/). Пусть ha(u), a=ly ..., /*, удовлетворяет условию 4.3.1, a 1(А.) задано выражением (7.2.5). Тогда

cov {/S1w. /Ши)}

= HZl (Q)-1Mg, (Q)-1^2 (X-[I) МГі(х—їх) L1^2(X) fMa(-x)

+ ЯS2 (X + |i)M2, (X+Ji)/в1ь, (X) /м, H*)} + (X, Fi).

j в' (7.2.12)

где I RT (X, |< K11 #<Г > (X) 11 Hp ([i) | + K2 \ Hp (X) | + Kz \ Hp ^) | + Ki с постоянными K1, ...Д4иа = а1, A2, 6Х, 62, — оо <

X, |Х < OO.

Статистическая зависимость /? и /?,, как нетрудно видеть, исчезает с убыванием функции Hp. Переходя в утверждении теоремы к пределу, получим

Следствие 7.2.2. При сохранении условий теоремы 7.2.2 для X, \i щк О (mod 2п) справедливо соотношение

Hm cov {/$, (X),

- Ч {X~[i} Llfl2 (X)/ЬЛ (- Я) + ч {X +Fi} faib2(Walb2 HX). (7.2.13)

Для несглаженных данных, т. е. при ha(u) = 1, если О а < 1 и ha(u) = 0 в остальных случаях, из упр. 7.10.14 следует, что

COV {IZi (Ц> IaI (V)} = Л {w} w с"

+ Л {Я, + И-}(*-)/м. (—*-) + T- /«,VA(^ — — H-)

+ T1 {X-R} О (T-1) + г] {X + О (T-1) + О (T-2) (7.2,14)

для частот к, [А вида 2nr/T, 2ns/T, где г, s целые и г, S=^O (mod T).

Мы завершаем это обсуждение асимптотических свойств матрицы периодограмм второго порядка выводом их асимптотического распределения.

Теорема 7.2.3. Пусть X(t), t = 0, ±1, есть г-мерный векторный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть Іхх (X) задано выражением (7.2.5). Предположим, что ha (t), а = 1, ..., г, удовлетворяет условию 4.3.1 а что 2Ху, Ay ± ХкфО (mod2n) для
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed