Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
у'г = (ау2 + 6)\//Ы, 2/2 = -(ayi + Ь)^7Ш- (17)
Предложение 2. Решения системы (17) удовлетворяют нелинейным уравнениям второго порядка
„/' 1 „/2
2/Ы
У?+ а(аУі + Ь)у/Ш)у/J[F-I(C-F(yi))\ =0, і = 1,2, (18)
где F(уі) = J (аУг^^Уг ^ р 1 является обратной к F функцией, a F(yi)-+ F(y2) = С является решением уравнения первого порядка (ауг + b)dyt | (ау2 + b)dy2 _
VfM л/Ш
являющегося следствием системы (17).
• Доказывается путём исключения из связанной системы (17) переменных 2/1,2/2- •
Уравнения (18) относятся к классу линеаризуемых уравнений (4.12).
Его линеаризует подстановка (4.7), т. е.
Фехр(/ FcIy)
316 Глава 5
10. Факторизация нелинейных дифференциальных операторов
В п. 1 рассматривалась связь преобразований переменных в нелинейных уравнениях с факторизацией нелинейных дифференциальных операторов, приведшая к методу точной линеаризации (МТЛ). Сейчас мы поступим по-иному. Будем рассматривать различные факторизации дифференциальных операторов, приводящие как к МТЛ, так и к преобразованиям Бэклунда.
Предложение 1. Уравнение типа Льенара
у" + ai (г/У + а0(у)у = о (1)
допускает факторизацию вида
(D - a2)(D - сц)у = 0, он = сїі(у), г = 1,2, D= d/dx, (2) где имеет место следующий аналог формул Виета
U1 = —(«і + Cx2 + сх\у), ао = CXiCv2, (*) = d/dy, (3)
причём а\ удовлетворяет уравнению Абеля 2-го рода
dct1 о п / л \
ycxi—,--Ь Cx1 + U1Ot1 + а0 = 0, (4)
dy
а а2 удовлетворяет уравнению Абеля 1-го рода
dot2 з 2 і / і * \ /г\
аоу-т-=а2 + а1а2+а2(ао + а0у). (5)
• Чтобы получить формулы (3), поступим следующим образом. (D — — аі(г/))г/ = у' — аі(г/)г/. Подействуем на полученное дифференциальное выражение оператором D — а2. Тогда уравнение (1) примет вид
у" - (ai + а2 + а\у)у' + Ct2Ct1V = 0,
откуда следуют формулы (3) типа Виета для нелинейного уравнения (1). Выразив затем Ct2 через (? и наоборот, получим уравнения (4) и (5) соответственно. •
Предложение 2. Пусть дано нелинейное автономное уравнение
у^ =F(y,y',...,y(n-^), (6)
10. Факторизация нелинейных дифференциальных операторов 317
допускающее факторизацию вида
і
l[(D-ak(y))y = 0. (7)
k=n
Для того чтобы нелинейные дифференциальные операторы 1-го порядка (D — ah), k = 1,п, в формуле (7) были коммутативны, необходимо и достаточно, чтобы
ak(y) = а(у) + const. (8)
• Т. к. коммутатор [D — ctj, D — сц] = 0, то факторизация
(D - dj)(D - аг) = D2 - (ai + dj + а*у)D + otiCtj, должна равняться факторизации
(D - Oii)(D - ctj) = D2 - (cxi + dj + a*y)D + otiCtj,
откуда следует а* = а*, т. е. ctj = оц + const, что соответствует формуле (8). •
Предложение 3. Пусть уравнение (6) допускает факторизацию вида
і
l[bk(y)D-?k(y)y'-ак(у)]у = 0. (9)
к=п
Для того чтобы она была коммутативной, необходимо и достаточно, чтобы (без ограничения общности)
Ik =7, ?k = ?, OLk = a + const.
• Т. к. коммутатор [¦JjD — ?jy' — ctj, ^D — ?^y1 — сц] = 0, то следующие нелинейные уравнения должны совпадать:
ъ(ъ - ?iy)y" - [ъЫ - ?hJ - ?i) + ?An - ?ty)]y'2-
-Ьіа*іУ + ai(li - ?iV) + ai(lj - PjV)W + ajaiV = °>
ъ(ъ - ?jy)y" - Ыт; - ?)v - ?3) + ?idi - ?,y)]y'2-
-[Ъа*3У + аг(Ъ - ?jy) + OLj(^1 - ?iy)]y' + Ci1CiJy = 0.
Сопоставление уравнений даёт:
!An -?iy) = ad] - ?jy);
318 Глава 5
]j(jD-?y' -а-гк)у = 0.» (10)
к=1
Пусть Q(у) =0. Тогда уравнение
п
\\(jD-?y' -гк)у = 0
к=1
преобразованием
i? 1
У = ехр( / -dy)z, dt = -dx (11)
сводится к линейному уравнению
п
H(Dt-rk)z = 0. (12)
к=1
Преобразованию (11) соответствует преобразование
У = v(y)z> dt = u(y)dx, (1-16)
если положить в (11) 7 = і, ? =
v
vu '
Заметим, что к уравнению (10) можно применить преобразование Бэк-лунда, представленное в виде
Оно приводит (10) к уравнению с постоянными коэффициентами (12).
ъ(-у: - ?!v - fr) + ?jhi - fry) =
= li{H*j-?*jy-?i)+?i(Hi-?iV)\ jjа*у + (Xj(ji - ?iy) + at(jj - ?jy) =
= ъа)У + аг(ъ - ?3y) + ckj(ji - ?iy)-
Без ограничения общности примем ji = jj = j, откуда следует /? = ?j = ?. А т. к. а* = а*, то (? = otj + const. Следовательно,
ai = а(у) + const. Примем (? = а (у) + Ti. Факторизация (9) примет вид
10. Факторизация нелинейных дифференциальных операторов Другой вид преобразования Бэклунда:
--(1 - ту<У) = ту + y> dt = -fdx-Рассмотрим частный случай факторизации (10):
п
Y[(D - а - rk)y = 0.
к=1
Тогда преобразование Бэклунда примет вид
У' , ч , z' -=a(jj) + -.
Пусть уравнение
у" + аг(у)у' + а0(у)у = 0 допускает факторизацию вида
(D — а — T2)(D — а — г\)у = 0. Произведя факторизацию в (15), получим
у" - (2а - Ъг + ^у)у' + (а2(у) - bia(y) + Ъ0)у = 0.
Найдём а(у) из уравнения
da =_2 bi _ аЛу) dy Уа У У
Общее решение уравнения (17) вычисляется по формуле
.-2/ [ „ /„\„j„ , bi о
оі(у)=У (- / a1(y)ydy+—y +с),
где с — постоянная интегрирования. Получим выражение для ciq :
ао=У 4(- / ax(y)ydy + с)2 + Ъ0- Ь\/А.
