Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
z = l/y, dt = y~3/2dx (22)
300
Глава 5
приводится к автономному виду
z +а = 0. (23)
(Покажем, например, как получается первая из формул (22):
Z = ? J(y-V^dy = ?j у-Чу = -?/y
и, положив ? = — 1, получим z = 1/у). Т. к. общее решение уравнения (23) имеет вид z = —a/Qt3 + cit2 + c2t + с3, то общее решение уравнения (20) может быть представлено в параметрической форме
У = (-|<3 + сіі2 + С2І + сз)_1, X = J(-^t3+Clt2 + c2t + c3)-3/2dt, (24)
где сі, с2, сз — постоянные интегрирования.
Необходимым и достаточным условием существования решений (20) является равенство нулю дискриминанта D полинома 3-й степени Pit) = = cot3 + cit2 + c2t + сз, что соответствует наличию кратных корней у Pit). Так как
D = C1C2 — 4(?? — 4с^сз — 27с0с3 + I8C0C1C2C3, то при (? = —а/6
D = с\с\ + 2а/Ъс\ - 4C1C3 - 3/4а2Сд - Засіс2с3 = 0.
В частности, если положить с\ = C2= C3= 0, получим следующее элементарное решение уравнения (20): у = рх6/7, р = const. В работе (Зайцев, Полянин [126]) это решение отсутствует, а представленный там параметрический вид является менее общим, чем (24). Заметим, что примеры 3.3.2 и 3.3.6 из [126] также являются частными случаями уравнения (12). Пример 3.3.2 получается при /(у) =0, Ь2 = Ь\ = 0, bo ф 0, с ф 0, а пример 3.3.6 соответствует значениям /(у) =0, b2 = 0, bo ф О, Ь\ ф 0, сф 0. Все указанные примеры из [126] являются частными случаями уравнения
У"' + Ь2у-3'2у" + &2/2у"5/у2 + 6iy-y + boy-7'2 - су-*'2 = 0, (25)
приводимого подстановкой (22) к линейному виду
z +b2z + biz + b0z + c = 0. (26)
В свою очередь, уравнение (25) является специальным случаем уравнения (12).
7. Точная линеаризация автономных уравнений третьего порядка 301
Как будет показано в п. 8, уравнение (12) может быть использовано и для линеаризации задачи о вращении твердого тела в случае Эйлера-Пуансо.
Пример 2. Как известно (см., например, Олвер П. [196], с. 464; Андреев, Капцов, Пухначёв, Родионов [5], С. 117-119), задача нахождения инвариантного решения уравнения
и xt = sin« (27)
может быть сведена к нахождению общего решения уравнения
иххх + \ul = 0. (28)
В [5] также констатируется: «К сожалению, проблема нахождения общих решений ОДУ высших порядков весьма сложна». Не оспаривая этот общий тезис, в данном конкретном случае можно сделать следующее. Перепишем (28) в виде
у"' + \у'ъ = 0. (29)
Уравнение (29) есть специальный случай (12). А именно: если положить 62 = Ъ\ = bo = с = 0, /(у) = 0, то получим уравнение
у"' + ^3?- - 5^y'3 = °' (*) = Wy- (3°)
Чтобы уравнения (29) и (30) совпали, потребуем, чтобы
v**- !?-^ = 0' <р = <р(у)- (зі)
В силу формулы (4.15) частными решениями уравнения (31) являются ком-плексные функции (р(у) = ехр(±-гу). Итак, уравнение (29) подстановкой
о
z = ехр(2гу), dt = exp(-iy)dx линеаризуется в уравнение Z= 0, и его решение имеет вид:
X= (c1+c2t + c3t2)-3/4dt, у = -1Un(C1 + c2t+ С3І2).
302
Глава 5
Заметим, что уравнению (29) соответствуют комплекснозначные факторизации:
±2гу(у"' + \у13) ее [D - (I ± i)y'][D - (| T \і)у'№ ~ (J T 2г)у']у = 0.
Уравнение (31) наряду с комплексными решениями имеет также действительные решения, например, ср = cos~3/2 у, <f = sin-3/2 у. Соответствующие преобразования, линеаризующие (29), имеют вид
z = tg у, dt = cos~3/2 ydx mz = ctg у, dt = sin-3/2 ydx.
Указанным подстановкам соответствуют вещественные факторизации (29). Например, первой из подстановок соответствует следующая факторизация:
(tg у + ctg у)у{у"' + I2/3) = [D - {1/у + 2 tg у - ctg у)у'\ х
X [D - (1/у + 1/2 tg у - ctg у)у'\ - (1/у - tg у - ctg у)у']у = 0.
7.2. Об интегрировании обобщенного уравнения Эмдена - Фаулера третьего порядка
Рассмотрим в качестве примера одно из возможных обобщений уравнения ЭФ, а именно
у"'+ Ьх8уп =0, пфО, пфі. (32)
Применяем тест автономизации (см. гл. 4, п. 1). Линейная часть имеет вид у"'. Общее решение соответствующего (32) линейного уравнения у"' = = 0 есть у = Ci + C2X + с3х2, которое можно также представить в виде
у = хк(с1х~к + c2x~k+1 + с3х~к+2).
Примем V = хк, и = x~l. Тогда vu3 = хк~3 = xsxkn. Приравниваем пока-
s + 3
затели: s + кп = к — 3, откуда к = -^- Уравнение (32) преобразованием
s+3
у = xl~n Z, d,t = x~xd,x приводится к автономному виду
z +(Зк - 3)z + (Зк2 -Qk + 2)z + (к3 - Зк2 + 2k)z + bzn = 0
7. Точная линеаризация автономных уравнений третьего порядка 303
и имеет точные решения
у = рхк, (к3 -Зк2 + 2k)p + bpn = 0, fc=^±|.
Но общее решение уравнения у"' = 0 может быть представлено также в виде: у = х2(с3 + C2J x~2dx + Ci(J x~2dx)2) где v = х2, и = х~2. Нелинейный член xsyn вносит ограничение: vv? = xsvn, откуда х2х~6 = = х8х2п. Приравнивая показатели, имеем —4 = s + 2п, откуда получим s = —2п — 4. Итак, преобразованием у = x2Y, dt = x~2dr уравнение (32) приводится к автономному виду
Y"'(t) +bYn =0. (33)
К полученному уравнению применим тест линеаризации, а именно используем теорему 2. Уравнение (33) может быть отнесено к классу (12) тогда и только тогда, когда оно представимо в виде
