Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Y'" + ^3(Ъ3 J ^dY + |) = 0; (34)
в этом случае в (12) Ъ\ = Ъ2 = 0, a ip удовлетворяет уравнению
1 <Р** 5 ^*2
3 Ч> 9 ^2
0. (35)
Решением уравнения (35) является функция Lp = Y 3I2. Тогда уравнение (34) примет вид
Y'"-b3Y-7/2 + ^Y-5/2 =0, /3 = -1. (36)
P
Возможны два случая: 63 = 0 и с = 0. Пусть
Y'" - cY~5/2 = 0, (63 =0). (37)
При п = —5/2 имеем —4 = s — 5, откуда s = 1. Исходное уравнение (32) будет таково:
у"' + bxy-5'2 = 0, (с =-&). (38)
(уравнение (38) ранее уже встречалось: (см. (4.3.23)). Пусть с = 0. Уравнение (36) примет вид
Y'" - b3Y~7/2 = 0, (Ъ3 = -Ъ). (39)
304 Глава 5
При п = —7/2 получим s = —4 — 2 • (—7/2) = 3. Тогда уравнение (32) примет вид:
у"' + bx3y-7/2 = 0. (40)
К уравнению (40) последовательно применяем подстановки
у = X2Y, ат = x~2dx,
Y = Y2Z, dt = Y-3/2dr. Тогда результирующую подстановку можно представить в виде
у = x2Y2z, dt = X-2Y-3'2dx, (Y = ух~2),
или у = x~2y2z, dt = xy~3l2dx. Применяя последнюю подстановку к уравнениям (38) и (40), получим соответственно уравнения
"z —Ь = 0, z —bz = 0.
Факторизации уравнений (38) и (40) имеют соответственно вид:
-(D + V-)(D + I - \y-)(D + § - -f)y + Ъху-Ы2 = 0, (D+yy-r3xy-3/2)(D + l:-ly--r2xy-3'2)(D
где Гк, к = 1, 3 удовлетворяют характеристическому уравнению г3 — b = 0.
Рассмотрим теперь линейное уравнение у"' + Ъх8у = 0, s ф 0, т.е. уравнение (32), в котором снято ограничение п ф 1. Тогда получим два значения для s : S = —3, s = —6. При s = —3 имеем уравнение Эйлера у"' + Ъх~3у = 0, а при s = —6 имеем уравнение Альфана у"' + bx~6y = 0.
Заметим, что в работе (Брюно [93], с. 261-265, см. также Bruno [283], р. 293-296) рассматривались асимптотические решения уравнения (32), а интегрируемые случаи не выявлялись.
8. Уравнения Эйлера для гироскопа и простейшие системы гидродинамического типа
8.1. Случай Эйлера-Пуансо
В классической задаче о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки имеют место три интегрируемых случая, а именно Эйлера-Пуансо, Лагранжа и Ковалевской. Далее с новой точки зрения будет рассмотрен
8. Уравнения Эйлера для гироскопа.
305
случай Эйлера-Пуансо о свободном вращении твердого тела, который описывается следующей системой уравнений
( Ap-(B- C)qr = 0
\ Bq - (С - A)rp = 0 (1)
[ Cf - (А - B)pq = 0,
где p,q,r — компоненты угловой скорости тела в направлении его главных осей инерции, A1B1C- главные моменты инерции.
Система (1) допускает разделение переменных, а затем и точную линеаризацию. Первое из уравнений системы (1) продифференцируем дважды. В силу (1) переменные q, г можно исключить. Имеем последовательно:
(j_д А — В
Ap-(B -C)(qr + qf) = 0, qr =———r2p7 qf =—=.—pq27
... (B -C)(C-A) „ (B - C)(A-В) ґ 2ч
A P ---^-L(2rfp + r2p) ---^-L(2pqq + q2p) = 0,
B C
A-B . . (C-A)A .
rr = C(B-C)m qq = BjB—C)m
В результате придем к следующему уравнению 3-го порядка ... і A(A-B)(C-A) „
Р--рРР- ---?-1PP = 0. (21)
Путем круговой перестановки А, В, С, р, q, г получим следующие уравнения относительно других переменных
1... A(B-C)(A-B) , 2
а --q-qq---г--qq =о, (22)
г -\гг - ~Адв rr2 = °- (23)
Уравнения (2) принадлежат к частному случаю класса (7.12) с точностью до обозначения переменных. А именно, если в (7.12) положить / = —и*/и, придем к уравнению вида
і' —Ц—хх + b2ux + Ъ\и2х + U2JjQ / udx + ^) = 0, (*) = d/dx. (3)
306 Глава 5
р = л/сГу 1 — к2 sin 1_ [ сіт
Cl
2 у ЬРТР + 7
= . (8)
где постоянные ci, fc2, 7 находятся из начальных условий. Аналогичным образом, применяя преобразования
X = Q2, drq = qdt;
р = г2, drr = г dt; можно найти общие решения для о и г, представленные в параметрической
форме Через Переменные Tg и Tr.
Заметим, что уравнение типа (3') допускает факторизацию
где г \, г 2-і гз удовлетворяют характеристическому уравнению г3 + br = 0.
Если теперь в (3) положить и = х, Ъ-2 = bo = с = 0, получим уравнение
X -\хх + bx2x = О, (3')
которое того же вида, что и уравнения (2). Преобразованием
тт = р2, сіт = pelt (4)
уравнение (21) линеаризуется:
,'"(г) + Ьртт'(т) =0, Ър = А{В - А) > 0. (5)
Общее решение уравнения (5) имеет вид
тт = а + ? cos(Vbr + 7), (6)
а, ?, 7 — произвольные постоянные.
Введя обозначения 2?/(a + ?) = к2, а + ? = с\, получим
тт = C1(I -к2 sin2 v^L±I). (7)
В силу преобразования (4) имеем:
8. Уравнения Эйлера для гироскопа. ..
307
8.2. Квадратично-нелинейные системы
Рассмотрим обобщающую (1) систему вида
п п п
щ =
(9)
J=I j=l к=1
представляющую т. н. систему гидродинамического типа (СГТ) (Гледзер, Должанский, Обухов [108], Обухов [192]) (в частности, систему уравнений динамической метеорологии), если для них выполняются условия сохранения энергии E = z~2xf/2 и фазового объема ^діі/дхі = 0. Из этого следует
СГТ естественно возникают при конечномерной аппроксимации уравнений гидродинамики идеальной невязкой жидкости по методу Галеркина. Таким образом, СГТ — это система, у которой общие свойства уравнений с точки зрения характера нелинейностей и законов сохранения — такие же, как и у изучаемого гидродинамического объекта, но которая имеет конечное число степеней свободы. СГТ имеют много общего и с системами, привлекающими внимание биологов в связи с экологическими проблемами. Долгое время СГТ исследовались либо численными методами, либо с помощью качественной теории. В данной работе будет применен аналитический метод, а именно МТЛ.
