Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
У = ^j-+ ехР у' ~~ параметр.
Уравнение (4) допускает двумерную алгебру Ли точечных симметрии с генераторами
Преобразованием вида
у = ехр(—^-:г),г, (ft = ехр(—^-x)dx
(4) сводится к интегрируемой форме
z + bz3 = 0.
Отметим, что представитель данного класса
у" + Зау' + 2а2у - 2у3 = 0 (1')
исследовался Пенлеве (см. Painleve [379], с. 53, уравнение (5)). Здесь Ь\ = = За, bo = 2а2, Ъ = —2. Тогда т\ = —а, т2 = —2а, к\ = ±1, /? = +2. Факторизация уравнения (Г) имеет вид
(D + 2a± 2y)(D + a + у)у = 0.
Соответствующие однопараметрические семейства решений (1') таковы:
JZ=(ZbI+Ce01)"1.
12.2. Замечательное уравнение с квадратичной нелинейностью
Это уравнение вида10 (см. также (4.3.7), (4.3.8))
у" ± Ь1У' + boy +^:(b2o- §^Ь\) + ку2 = 0. (5)
'0Ha Третьем Всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (WCNA-2000, Catania, Sicily, Italy) в июле 2000 г. Prof R. Conte указал автору, что впервые к этому уравнению пришел Painleve ([379], р. 23) другим путем.
330
Глава 5
Оно допускает двумерную алгебру Ли точечных симметрии:
Xl = J? Х2 =ехр(±^а;)^:+ехр(±^а;)
±5І(6°-256^Т56іУ
ду'
с коммутатором [X11X2] = ±61/6X2. Преобразованием
26 16 b
у = ещ>(+-^-х)г + — (Ь0 - 25Ь?), dt = ещ>(+-±-х)ах
(5) сводится к интегрируемому виду
z + kz2 = 0.
Уравнение (5) было получено автором (см., например, [57, 60], а также теоремы 7.1.1-7.1.3) на основе группового анализа уравнения
у" ± Ъ1У' + f(y) = 0.
Автором был получен и чисто мнимый случай: b\ = ±5/\fh~i, і = = л/—1, /(у) = у — у2 (см. также пример 7.1.2).
Mittag-Leffler [370] рассмотрел частный случай (5):
у" - bay' + |а4 - 6у2 = 0.
Другой частный случай рассмотрел Пенлеве (см. Painleve [379], с. 53, уравнение (6), а также Камке [139], N 6.23), а именно
у" + bay' + 6а2у - 6у2 = 0.
12.3. Об одном уравнении из аналитической теории ОДУ
Речь пойдет об уравнении
у" + УУ' + ку3 = 0, к = const. (6)
Оно может быть проинтегрировано в квадратурах, как обобщенно-однородное уравнение. К нему, разумеется, может быть применен и метод С. Ли. А в работе (Lemmer, Leach [344]) был использован тест Пенлеве в сочетании с т. н. «скрытыми» симметриями. Но наиболее эффективным представляется применение МТЛ в сочетании с известной теоремой П. Л. Чебышева о дифференциальных биномах (см. Чебышев [231]).
12. О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ 331
Предложение 2. 1) Уравнение (6) при всех к разрешимо в квадратурах, т. к. подстановкой z = у , dt = ydx оно линеаризуется:
z + і + 2kz = 0.
2) Для того чтобы уравнение (6) интегрировалось в конечном виде через элементарные функции, необходимо и достаточно, чтобы параметр к принимал значения точек числовой последовательности
к= г(г + 1)ч9, I ? Z, к Є [0,1/8]. (7)
2(2/: + 1)2 > L > / J V J
3) Для Ук уравнение (6) допускает двумерную алгебру Ли с генераторами
X1 =X2 = X-Q--у-!?-, [X11X2] = X1.
ох ох оу
А) Для k = 1/9 (6) допускает %-мерную алгебру Ли, изоморфную s2(3,R), и точечным преобразованием z = 1/6х2—х/у, t = 1 /'За; —1 /'улинеаризуется: z = 0.
• Утверждение 1) проверяется непосредственно. Утверждение 2) можно доказать следующим образом. Уравнение (6) в силу 1) имеет параметрическое решение
у = ехр
(-1 + Л/1 8fci)V/C'1exp(VT^8fci) + C'2,
(1 + Л/) 8^t)(C1 exp(VT-~^i) + C2)~1/2dt.
exp, 4
Сделаем подстановку є = s. Положим
* = s. Положим U—і—— — 1 = m, л/1 — 8fc
4
гг, р= — |. Тогда параметрическое решение будет иметь вид:
у = s-(™+l)VClS"+C2j ^ = / sra^CiSn + C2)-1/2ds
Согласно известной теореме П. JI. Чебышева интегрируемость в конечном виде дифференциального бинома будет иметь место при выполнении любого из следующих двух условий (при нецелом р):
X) m^=l + vT^8k_=leZ
332
Глава 5
или
Б)
то + 1
+ P
1 + Vl -8к 1
І є Z.
п
В случаях А) и Б) имеем соответственно
к =
1(21-1) (Al - I)2
2 '
/С =
1(21 + 1) (Al + !)2'
Объединяя обе формулы в одну, придём к формуле (7). Таким образом, при значениях к, удовлетворяющих числовой последовательности (7), т. е.
принимающих значения к = 0, ^ , -ттг, 1т, тттт, уравнение (6)
У ZO 4У oi IzI 1оУ
интегрируется в конечном виде через элементарные функции. Сюда отнесём также предельный случай к = 1/8.
Утверждения 3) и 4) также проверяются непосредственно. •
Обобщением (6) служит уравнение
которое при любых а и Ъ линеаризуется подстановкой z = у2, dt = ydx в уравнение Z + az + bz = 0. Кроме того, при Ъ = 2/9а2 оно линеаризуется в Z = O подстановкой z = 1/6ах2 — х/у, t = 1/Зах —1/у.
Уравнения вида (6), (8) представляют интерес не только потому, что их интегралами являются однозначные функции (см., например, Голубев [109]), но и потому, что они возникают также в ряде вопросов теоретической и математической физики (см. Lemmer, Leach [344], Фущич, Жданов [227]).
13. Об уравнении из теории автоколебаний, рассматривавшемся Н. Н. Баутиным
В работе (Баутин [14]) рассматривается уравнение
