Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Применим метод автономизации. Система (1) подстановками
dsj = ехр
dx
= їі{Уг)д-тШх, і = 1,71
приводится к системе с разделенными переменными
y'liSi) + Пі<Рі(Уі)у'г(аг) +<Рі(Уі)(ГіО J <fi (Уг)Фг + C1 //?) = 0, 7 = 1,71. (2)
Система (2) линеаризуется подстановками
Zi= ?i І <Рі(Уг)ауг, dt, = (pi(yi)dSi, І = 1,71,
а именно приводится к виду
z\ + тZi +Ti0Zi +а= 0, (') = d/dsi, г = 1, гг. (3)
Теорема 1. Система (Y) преобразованиями
Zi = ?i J fi{Vi)dyi, dt, = І~к(уі)д-т(у)<Рі(Уі)ах, і = 1,тг, (4)
приводится к линейной несвязанной системе (3) с различными независимыми переменными.
292
Глава 5
6.2. Линеаризация лиувиллевых систем
Рассмотрим лиувиллевы динамические системы, для которых кинетическая и потенциальная энергии имеют соответственно вид (Liouville [357])
п п п
Т=\ъ{а)^Ш1 ^=ГтЧ?й(а), b{q) = Yb(Qi)- (5)
г=1 у°> 1=1 1=1
В силу уравнений Лагранжа
d (дТ\ дТ OV
dt \dqi J dqi Oq1
от (5) придем к следующей системе дифференциальных уравнений 2-го порядка
откуда получим систему:
г=1
Далее следует:
.. , 1 а*г -2 , Ь ¦ 1 К -2 1 BU і ч d
.. , да? • , 6ч. Ь* ^ 1 ,«ч
2 «г 6' ъ2сц bciidqi
В силу интеграла энергии T + V = h запишем (6) в виде
Но последние слагаемые в (7) можно представить как
1 д [b(U + h)]=--J-^[blh-dl],
b2ai dqt b2ai
6. Линеаризация лиувиллевьтх систем
293
откуда придем к системе
Чг + (?? + Ы - [hh - di] = 0.
2 аг Ъ' Va1 dql
(8)
Это нелинейная автономная связанная (с неразделенными переменными) система ОДУ. Однако, если коэффициенты при (? в (8) рассматривать как функции от t, то левую часть каждого из уравнений (8) можно рассматривать как сумму двух выражений, одно из которых является линейным неавтономным дифференциальным выражением
q\ + {\a7la*qi + 6-1?)?,
а другое — нелинейным неавтономным функциональным выражением:
-b-^-^-ihbi-di).
Структура системы (8) такова, что к ней может быть применен метод автономизации (см. предыдущую гл. 4).
Вместо одной старой независимой переменной t введем п новых независимых переменных ті, связанных с коэффициентами при (? следующими формулами:
dri = ехр
(^?? 1Gs* + b гЬ)аі
dt
= exp
то есть
dri = a, 1^b 1dt,
di = а~1,2Ь-гаі,
1, п.
(9)
Система (8) подстановками (9) приводится к автономной несвязанной системе
drf dq{
¦ di) = 0, і = 1, п.
(10)
Замечание 1. Подстановки (9) не носят искусственный или эвристический характер. Они естественно вытекают из регулярного процесса автономизации уравнений (8) путём замены независимой переменной.
294
Глава 5
Преобразования типа (4.7)
Qi = \/2(hbi - di), dsi = -^-(1/2(/1? - di))dn, i = l,n
приводят (10) к линейной системе с разделенными переменными Qi(Si) - Q1(S1) = 0, О = d/dSl, г = ї~її. Итак, пришли к теореме:
Теорема 2. Лиувиллево. система, представленная в лагранжевой форме (8), линеаризуется преобразованиями:
Q1 = y/2(hbi-di), ast = -Q-1^b-1^2(Hb1 -di)dt.
Следствие 1. 1) Система (10) имеет решение
_1 /2
d,Ti = ± [2(сі + hbi - di)} dqt. 2) Система (8) допускает систему первых интегралов
п
^b2aiq2 = hbi - di+Ci, E ci = °> i = !> n'
i=l
а также приводится к системе ОДУ первого порядка Jd~idq1 Jd~ndqn
^/2(c1 + hb1-d1) "' ^/2(cn + hbn-dn)'
7. Точная линеаризация автономных уравнений третьего порядка
Найдём необходимые и достаточные условия для точной линеаризации нелинейных автономных дифференциальных уравнений третьего порядка путем нелинейного преобразования функции и независимой переменной.
7.1. Постановка задачи и общие результаты
Рассмотрим автономное нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка:
Щу) = ym+h(y)y'y''+fMy''+My)y'u+h(y)y'2+h(y)y'+h(y) = о.
7. Точная линеаризация автономных уравнений третьего порядка 295
Построим зависящий от двух произвольных функций класс уравнений типа (1), решения которых выражаются в квадратурах. Построение осуществляется, исходя из условия точной линеаризации. Искомый класс уравнений типа (1) преобразованием зависимой и независимой переменных
у —> z = v~1(y)y1 dx —> dt = u(y)dx (2)
v(y(x))u(y(x)) ф 0, Ух Є I = {x\a < x < b}, приводится к наперёд заданному линейному автономному виду
"z +62-? + b\z + boz + с = 0, bi, b\ bo, с = const. (3)
В результате линеаризации исследование нелинейного уравнения типа (1) в плоскости переменных (у,х) сводится к рассмотрению линейного уравнения (3) в плоскости (z, t) и применению преобразования, обратного к (2).
Линеаризация при помощи преобразования искомой функции применялась в работе (Сохов [222], Chazy [291]), а путем преобразования независимой переменной — в работе (Беркович [33]). Отдельные примеры типа (1) рассматривались в статьях (Dasarathy, Srinivasan [293, 294]).
Теорема 1. Для того чтобы уравнение (Y) преобразованием (2) сводилось к виду (3), необходимо и достаточно, чтобы (Y) могло быть представлено с помощью факторизации через дифференциальные операторы первого порядка (здесь операторы в общем случае некоммутативные)
