Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Исследования в этом направлении развивают Winternitz [417] с соавторами, Ибрагимов [134], Ibragimov [326], Яковенко [236]12 и другие.
Дополнительные примечания к ПНС
(а) ФСР не определяет полностью нелинейное уравнение; для его определения надо знать как ФСР, так и ПНС.
Так, уравнение Ермакова и уравнения Куммера-Шварца 2-го и 3-го порядков имеют одну и ту же ФСР (см. примеры 2.4.1, 2.5.1, 2.5.8).
(б) Одно и то же уравнение может иметь различные ПНС, т. е. может быть линеаризовано различными преобразованиями.
Это мы наблюдали на примере уравнения Пенлеве (3.1)
(в) Нелинейные уравнения, обладающие ПНС, допускают нелокальные симметрии.
Пример 2. Уравнение
у" - у2у' = 0 (4)
линеаризуется подстановкой z = у3, dt = y2dx в уравнение z — z = 0.
В
Уравнение (4) помимо точечной симметрии X = -^- допускает нелокальную экспоненциальную симметрию X = ехр(J y2dx)-^-.
(г) Факторизация нелинейных дифференциальных операторов — метод получения ПНС (см. п. 10).
2Работа [236] стала известна автору благодаря В. А. Дородницыну.
Глава 6
Исследование нестационарных задач небесной механики
Законы изменения массы
«Формулировка законов требует применения математической теории преобразований. Величины, соответствующие важнейшим понятиям в природе, являются инвариантами этих преобразований.»
П. Дирак
Введение
Развитие астрономии и космологии в последнее время приводит к необходимости изучения эволюции кратных, в частности, двойных систем небесных тел, гравитационные взаимодействия которых явно зависят от времени. В качестве примеров движения в нестационарных гравитационных полях укажем на звездные системы, в которых качественное изменение масс происходит либо за счет корпускулярного и фотонного излучения, либо за счет перекачки массы между компонентами и ее ухода за границы системы, либо за счет аккреции межзвездного или межпланетного диффузного вещества. Укажем также гипотезу Дирака об изменении со временем гравитационной постоянной. В этом случае динамика системы определяется только нестационарными гравитационными силами, поскольку реактивные силы в указанной ситуации отсутствуют.
При исследовании нестационарных задач приходится рассматривать два важных вопроса. Во-первых, нужно определить функциональную зависимость от времени коэффициентов уравнений движения изучаемой
342
Глава 6
динамической системы. (Переменными являются те коэффициенты уравнений, которые несут ответственность за изменение массы, сопротивление среды и т. д.) Во-вторых, нужно проинтегрировать уравнения движения при известных или установленных законах изменения коэффициентов.
Можно рассматривать первый вопрос т. н. методом обратных задач, а именно, исходя из наблюдаемых траекторий движения. Однако этот подход далеко не всегда является эффективным и всеобщим для звездных систем, эволюция которых происходит крайне медленно. Это принципиальное препятствие можно обойти, если обобщить метод обратных задач в следующем направлении. Целесообразно исходить из возможности математического преобразования уравнений движения к некоторому другому, заранее заданному, приведенному виду в изображающем пространстве-времени. При этом за приведенный вид удобно принимать либо автономный вид, сохраняя при этом порядок уравнений и характер взаимодействия компонентов системы, либо некоторый канонический неавтономный вид. Заметим, что при отыскании законов изменения коэффициентов принципиально нельзя рассчитывать лишь на собранный экспериментальный материал, поскольку из-за невозможности его исчерпывающего получения он носит ограниченный характер. На указанном выше пути возможно установление математических законов изменения коэффициентов с течением времени. К задаче двух тел переменной массы такой подход впервые применил И. В. Мещерский (см. Meshchersky [368], Мещерский [180]).
После того, как найдены математические законы, можно поставить вопрос о физическом характере найденных законов. Здесь плодотворной представляется следующая фундаментальная концепция: функциональные зависимости, претендующие на роль физических законов, должны оставаться инвариантными относительно группы симметрии данной физической системы.
Затем встает в полном объеме проблема интегрирования уравнений движения в конечном виде (через квадратуры и специальные функции). Однако размеры главы не позволяют уделить этой важной проблеме достаточного внимания. Ей будет посвящена специальная работа. При осуществлении указанной выше программы исследований большая роль отводится развитым автором методам факторизации, автономизации и точной линеаризации, которые делают еще более эффективным метод группового анализа дифференциальных уравнений. Однако данная глава почти целиком посвящена методу автономизации и его применению к нестационарным задачам. Для ее чтения практически не требуется обращения к предыдущим главам. С этой целью автор сообщает необходимые сведения как по методу автономизации, так и по групповому анализу. Результаты главы частично были изложены в докладах (Беркович [43, 44]).
