Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
представляющее интерес для теории автоколебаний (но не только!). В ней доказано, что для некоторых значений а, ?, 7, S уравнение (1) имеет устойчивое периодическое решение, соответствующее на фазовой плоскости у, у' предельному циклу. Нами же рассматриваются интегрируемые случаи.
у" + ауу + -by3 = 0
(8)
у" + у = ay' + ?yy' + 7у'2 + Sy2
(1)
13. Об уравнении из теории автоколебаний.
333
Теорема 1. Уравнение (1) обладает первыми интегралами и однопара-метрическими семействами решений в следующих случаях: I. Пусть 7^0.
а).7 = -|. 6 = Ъ 6ф0, афО.
б) а = 0, S = —7,
в) а = ? = 0, 7 = —5. П. Пусть 7 = 0, ?^O.
а) 4S2 + ?2 + 2a?S = 0.
б) S2 + ?2 + a?S = 0.
III. 7 = 0, ? = 0, a = ±5^6-
• I. Пусть 7^0. Перепишем уравнение (1) в виде
у" - 1У'2 -(а + ?y)y' + у-6у2=0. (Ґ)
В силу теоремы 2.2 уравнение (1') удовлетворяет критерию точной линеаризуемости, если выражение у — Sy2 удовлетворяет формуле
2 b0?2 2 f2a?bo b0?2, b0a2 b0a? у-Sy =--—у -(-^y- +^r)V--Ту----2-,
что приводит к системе алгебраических уравнений
b0?2 b0?. ?, b0a, ?
5=^7-, 1 = ——{2a+-), 0 = — (a + -).
Рассмотрим следующие возможности:
а) 7 = —^, 5 = 7, S ф 0, а ф 0. Уравнение
у"' + Іу'2-{?y + a)y' + у+Іу2 = 0, ?ф0
преобразованием z = уехр(-у), dt = ?(y+ —)dx = (a + ?y)dx приводится
?
к линейному виду z — z + \ja2z = 0, имеет первый интеграл
(kt-i- і_./^__іу+2^х
\ау 2 2aV J
1 _ а
i у' 1.1 Г-о--\2~2+^ „
334 Глава 5
У = -1(1 - СехрС-г/ь^))-1, п,2 = I ± 2^^/32 +472-
в) а = /? = 0, 7 = —5. Уравнение
У" - 7У'2 + У + 7У2 = 0
преобразованием z = (у + l/~f)e~7V, dt = ydx сводится к линейному виду z — j2z = 0, допускает первый интеграл
Ы -!У- I)(TJ/' + 7У + 1) = Ce2™ и имеет однопараметрические семейства решений
у = Се±х - 1/7. II. Пусть 7 = 0, ? ф 0. Уравнение (1) принимает вид
у" - (о- + ?y)y' + у-5у2 = 0. (3)
а также обладает однопараметрическими семействами решений
у = Сеаг>х, к = 1,2, гк = \±±у/с?-А. (Формула (2) вытекает из следующих соотношений
|и-гіИи-г2ГГ2 =СгГ2-Г1, u=i = h^ z = ye?,ay)-б) а = 0, 5 = —7, 7 7^ 0. Уравнение
У" - 7У'2 - ?yy' + У + 7У2 = 0
преобразованием z = (у + l/^)e~'yv, dt = ?ydx сводится к линейному виду
Z- z + /?2z = 0, допускает первый интеграл
\У'(У + 1 + - n?y(y + I)P\у'(у + 1 + I) - r2?y(y + 1)1-2 =
= CyT2~T1 e~"i(T2~ri)y и имеет однопараметрические семейства решений
13. Об уравнении из теории автоколебаний.
335
Представим (3) в виде факторизации
(D+p2+p1yk){D + q2+q1yl)y = 0, (4)
что соответствует следующему представлению уравнения (3), (4):
у" + (Р2 + <й)у' + [(I + I)W + Р1Ук]у' + Р2Ч2У+
+P2qW+1 + Piq2yk+1 + Piqiyk+l+1 = 0. (5)
а) I = 1, к = 0. Уравнение (5) факторизуется:
(D + ц)(у' +Y5V- § У2) = 0, где AS2 + ?2 + 2a?S = 0.
Оно имеет однопараметрическое семейство решений
?
у =[5 + Сехр(—ж)]-1.
б) / = 0, к = 1. Уравнение (5) факторизуется:
(TJ + I - /%)(у' + |у) = 0, где 52 + ?2 + a?o = 0.
При этом оно имеет однопараметрическое семейство решений у = = Сехр(— 4ж).
III. Помимо точной линеаризации и факторизации применим еще тест автономизации (альтернатива классическому методу Ли, который приводит к более громоздким выкладкам) (см. также гл. 7, п. 1). Преобразуем уравнение (1) преобразованием КЛ у = v(x)z, dt = u(x)dx. Получим выражение VU2Z-^(vuz + v'z)2 — ?vz(vuz + v'z) — Sv2Z2 = 0. Чтобы прийти к автономному виду, потребуем /3 = 7 = 0. Уравнение (1) тогда станет следующим:
у" -ay' + y- Sy2 = 0. (6)
Соответствующее линейное уравнение
у" -ау' + у = 0 (7)
будет иметь общее решение
у = Ci exp(n:r) + C2 exp(r2x) = ехр(п:г)(СЇ + C2 ехр(г2 — г\)х).
336
Глава 5
Примем v(x) = ехр(гіж), и(х) = exp(r2 — г\)х. Чтобы успешно пройти тест автономизации, нужно потребовать, чтобы vu2 = v2, причем должны выполняться условия Г2 = 3/2ri, г2 — ar + 1 = 0. Так как характеристическое уравнение является возвратным, то r2 = 1/Vi. Итак, получим а = ±5/л/б. Уравнение
у" ± \у' + у-Sy2 = 0
(8)
подстановкой
У
ещ>(т2/\/бх)
z
dt = ехр(+1 j'\Jbx)d:
ix
(9)
приводится к интегрируемому в квадратурах виду
z-Sz2 = 0
и имеет однопараметрические семейства решении
у = (±VS + Сехр(т1/\/бх))-2.»
Примечания к гл. 5
1. Метод точной линеаризации помимо работы (Беркович [34]) изложен также в работах (Беркович [28, 31, 33, 52], Беркович, Нечаевский [68], Berkovich, Nechaevsky [270]).
2. Некоторые специальные случаи линеаризации нелинейных автономных уравнений 2-го порядка, являющихся моделями нелинейных физических явлений (нелинейное подобие), рассматривались в работах (Савченко, Варламов [209], Макейчев [171]).
3. Системы Лотка-Вольтерра с квадратичной нелинейностью вида
Jx = х(ао + а,\Х + а2у), \ У = y(bo + b1x + b2y),
где ао, ai, а2, bo, b\,b2— параметры, рассматривались в работах (Hille [324], Abdelkader [240]), в которых были найдены точные решения для некоторых значений параметров.
