Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Для исключения переменных (разделения движений) в нелинейных системах может быть применен метод дифференциального результанта (для линейных уравнений он был развит в работе (Беркович, Цирулик [83], см. также гл. 1, пп. 5, 6), распространенный на нелинейные уравнения.
Рассмотрим систему Лотка-Вольтерра (Вольтерра [101])
Уг = am + РіУіУ2, УГ2 = а2У2 +/%№,
(24)
(а\, ?\, а2, /? — параметры), описывающую динамику взаимодействия двух биологических популяций.
Система (24) является связанной системой. Покажем, что от (24) можно перейти к несвязанной системе
У\ - у\у\ - ("2 + /32уі)УІ + аіуі(а2 + /З2У1) = 0, УІ - у\У2 - ("і + /?іУ2)у2 + а2Уг(аі + ?iy2) = 0.
(25)
Для получения первого из уравнений (25) (обозначим его (251)) составим следующую вспомогательную систему:
' у2 - (а2 + /32уі)у2 = 0, ?my2 + адуі - уі = 0, , ?my'2 + ?Wm + аіу'і - y'{ = 0.
(26)
Рассматривая (26) как однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно у'2, у2 и 1, получим условие ее совместности в виде равенства нулю соответствующего определителя 3-го порядка:
1 -(a2+/32yi) 0 0 ?iyi «іУі - УІ
?m ?iy'i аіУі - y'i
(27)
288
Глава 5
Раскрыв определитель (27), получим уравнение (251). Выражение для определителя (27) является одним из дифференциальных результантов системы (26). Другой дифференциальный результант нетрудно получить из симметричности системы (24) относительно переменных и параметров. Все решения (24) одновременно являются и решениями системы (25). При этом каждое из уравнений (25) принадлежит к типу (2.12). Линеаризующие преобразования таковы:
Z1 = а2 lnyi + ?2yi, dti = (а2 + ?2yi)dx,
z2 = ai lny2 + ?iV2, dt2 = (ai + ?iy2)dx. В результате получаем линейную систему
z'Hh) - z[(h) + ai = 0, z'i(t2) - Z2(JL2) + a2 = 0.
4.8. Линеаризация задачи двух тел
В случае невозмущенного кеплерова движения на плоскости задача двух тел примет вид
f+^r = 0, к2 = G(M+ т), (28)
где г = (х, у)1, г = |r| = \JX2 + у2, G — гравитационная постоянная, M — масса тела, т — масса частицы.
Применим к (28) преобразование
являющееся матричным аналогом подстановки (3.15). Преобразование (29) приводит (28) к виду
T + к2,2~Р'2у = 0, О = d/dr, р= (С, V), (зо)
где р= \р\ = V7C2 + Ц2-
5. Точная линеаризация одного класса НИДУ 289
В силу уравнений энергии
Ьк = у-у, h = hk-V,
(hk — кеплерова энергия, h — полная энергия, V — возмущающий потенциал, который для задачи (28) равен 0) и соотношений
получим линейное уравнение
/5" + Ip = O.
Ранее линеаризацию задачи (28) осуществил Леви-Чивита (Levi-Civita [345])9 (см. также Е. Штифель, Г. Шейфеле [234]) на основе преобразования
х + ІУ = (? + щу\
у і) Ід
dr = ^ dt.
5. Точная линеаризация одного класса нелинейных интегродифференциальных уравнений
МТЛ может быть распространен и на некоторые нелинейные интегро-дифференциальные уравнения (НИДУ), которые исследуются ниже. Найдем НИДУ 2-го порядка, которые преобразованием вида
у = v(y)z, dt = u(y)/(k I u(y)dx + l)dx
(D
приводятся к линейному уравнению (2.3) ((I) обобщает подстановку (2.2)).
Искомое уравнение может быть представлено с помощью факторизации
ки
°-(іг-іг)у +
к j udx + 1 к j udx + 1
(і-^у)у'-
т\иу
к J udx + 1
сии2 = 0.
(2)
^Впрочем, линеаризация задачи двух тел восходит к Л. Эйлеру.
290
Глава 5
Раскрыв факторизацию в (2), придем к уравнению вида
П V* \ и I2[ V** , /r,«* , U* W1 V* м
(1--гУ)У -У [У— + (2IT + ITH1 - 1ГУ)] +
(fe - П - г2)И(1 - \У)У' | Г1Г2Ц2у ^ ^ ^ о
/с J udx +1 (/с J Mote + I)2
Рассуждая далее так же, как и в теореме 2.2, придем к теореме. Теорема 1. Общий тип НИДУ 2-го порядка, линеаризуемый преобразованием (1), описывается формулой
" , w2 і (k + bi)u uexp(-fjdy) f f с
У +ШУ +У kJZdx^i+(kfudx+ir[b°J UeMJ ?-ї=0
и подстановкой
z = ? мехр( / Jdy)dy, dt = —-—--dx;
jj k j udx + 1
приводится к виду (2.3).
Следствие 1. Общее решение уравнения (4) можно представить в виде (2.15) при условии
t=\\n(Ju(y)dx+\).
Следствие 2. Уравнение (4) (при с = 0) допускает следующее двухпараметрическое решение
у = Jехр(- J Jdy)(J u(y)dx+¦^)ri/k~1dx + C2, соответствующее НИДУ 1-го порядка:
(л v* \ ' ГкиУ п
{1-^У)У 'кjudx+1=^
где г і — простые корни характеристического уравнения г2 + Ь\г + bo = 0.
6. Линеаризация лиувиллевьтх систем 291
6. Линеаризация лиувиллевых систем
6.1. Новый класс интегрируемых динамических систем
Пусть дана следующая связанная автономная динамическая система
у" + (кЩЧуг + m4r E і?-У'М + піШ)-кд{у)-т^(Уг)у'г+ v ЫУг) 9(У) fr{ °Уі 1
+ МУіҐ2кд(УҐ2т^г(Уг)(ггО J Vi (Уг)сІУг + J ) =0, д(У) = д(Уі, ¦ • ¦ , уп) ,
_ 1 (1)
і = 1,п, где ^1,7?),?,/? = const, (*) = d/сіуі.
Будем рассматривать коэффициент при у[, как функцию от зависимой переменной х. Тогда каждое из уравнений данной системы представляет сумму двух частей, одна из которых есть линейное неавтономное дифференциальное выражение (но приводимое выражение!, т. к. имеет второй порядок) (первая строка формулы (1)), а оставшаяся часть формулы (1) является нелинейным дифференциальным выражением.
