Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
У" + fy'2 + Ьіф ехр(2 J fdy)y' + = 0, (8)
линеаризуемым преобразованием
Z = ? фехр(2 / fdy)dy7 dt = ipexp(2 \ fdy)dx. (9)
4. Линеаризация некоторых классов динамических систем 283
^2Іфехр(2І fdy)dy
= ±л/+а2х + с, (15)
где с — произвольная постоянная.
Пример 3. Найти первые интегралы и однопараметрические семейства решений уравнения (Utz [411])
У +—----7У + ш/ = °- (16)
пуі1 - У )
Согласно (14) и (15) имеем соответственно:
у12 = (с - 2 f [(1 - \1п)у21п-\\ - у2)-1^ - у21п-\\ - V2Y-1^y)
в) Если произвольными являются функции (р(у) и ф(у), то класс линеаризуемых уравнений может быть представлен уравнением
у"+ (6о$ - f + \о-)у'2 + W + ^ = о, (ю)
линеаризуемым преобразованием
z = ехр(&о J ~ф^.у)7 dt = (f(y)dx. (11)
4.4. Нелинейное уравнение, эквивалентное гармоническим колебаниям
Исходное уравнение имеет вид
у" + f(y)y'2 ± а2ф(у) = 0. (12)
Преобразованием (7) оно сводится к уравнению
z ±a2z = 0. (13)
В силу следствий 2Л-2.3 уравнение (12) имеет первые интегралы
у'2 = а2(ст2 y^exp(2 J fdy)dy) ехр(-2 J fdy) (14)
и, кроме того, допускает однопараметрическое решение exp(f fdy)dy
= ±ix+c.
284 Глава 5
Vі -у2
Таким образом, уравнение (16) допускает однопараметрические семейства решений:
у = sin(a; + сі), у = cos(:r + C2). Пример 4 (Брюно [92], с. 218). Дана система уравнений
УІ = У2, V2 = ЦУ1) + М(У1)у1 у'3 = N(yi),
первые два из которых эквивалентны уравнению второго порядка
у'{ = Hy1)+ у? M(yi).
Очевидно, что оно с точностью до обозначений совпадает с (12) и, следовательно, интегрируется в квадратурах.
4.5. Условия линеаризации уравнения Эйлера
Необходимое условие экстремума простейшей задачи вариационного исчисления, полученное Эйлером в 1744 г., имеет вид
Fy-?Fy,=0, F = F(x7y7y')7
или в развёрнутом виде представляет ОДУ 2-го порядкаа (уравнение Эйлера)
Fy-Fxy,-Fyy,y,2-Fy,y" = 0. (17)
xy-^l-y2)1/", _y1/"(l-y2)1/<2")dy_
^2 J[(l - l/n)y'2/n-1{l - y2)-1/™ - y2/n-l(l _ y2)l-l/n]dy
В силу соотношения
2/та-І/-. 2-,1-1/та , 1 2/та/-, 2-,1-1/та . /-, і / \ / 2/та-І/-, 2-,-1/та ,
У (1-у ) dy = -у (1-у ) + (1-1/гс) / у (1-у ) dy
первые интегралы и однопараметрические решения имеют соответственно вид
у'2 = [с + у2/"(1 - у2)1-1^-2^! - у2)1/",
dy , .
= ±гж + с.
4. Линеаризация некоторых классов динамических систем 285 Если F не зависит явно от х, получим автономное уравнение 2-го порядка
Fy-Fyy,y'2-Fy,y" = 0, (18)
которое, как известно, интегрируемо в квадратурах (см., например, Гель-фанд, Фомин [105]). Действительно, если (18) умножить на у1, то (18) преобразуется в уравнение
JTx(F - №) = 0,
имеющее первый интеграл F — y'Fyi = С. Полученное уравнение 1-го порядка может быть проинтегрировано путём разрешения относительно у' и разделения переменных или путём введения параметра.
Найдём теперь условия для точной линеаризации уравнения (18), т.е. условия его принадлежности к классу (2.12).
Предложение 1. Пусть в уравнении (18) функция F(у, у') имеет вид
F(y, у') = |р(у)у'2 + q(y)y' + s(y). (19)
Для того чтобы (18) принадлежало к классу (2.12), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
р(у) = ехр(-2 J fdy), q(y) = ехр(-2 J fdy) - h J с/зехр(-2 / fdy)dy, s(y) = ехр(-2 Jfdy)-h J\рехр(-2 J fdy)dy-
bo J <^ехр(-3 J fdy)dy J <рехр( J fdy)dy-c/? J <^ехр(-3 J fdy)dy.
(20)
• Подставив (19) в (18), получим уравнение
У ~2Р~У--P—У--P—= '
Приравняв коэффициенты уравнения (21) к соответствующим коэффициентам уравнения (2.12), получим систему уравнений
/, Ру р Чу = bitp, Чу р Sytpexp(- J fdy)(bo j <pexp(J fdy)dy+c/?), проинтегрировав которую, получим формулы (20). •
l'Pv__t Pv- Чу 2 P
286
Глава 5
4.6. Динамические системы с разделенными переменными
Рассмотрим динамические системы, для которых кинетическая и потенциальная энергии имеют соответственно вид:
п п
Т=\^а*Ш1 U=-Y1MQi), {-) = d/dt,
i=l i=l
где qi — обобщенные координаты (см. Уиттекер [224]). Уравнения Лагранжа
d/dT, дТ dU ¦ -— dt oqi oqi oqi
для таких систем можно преобразовать к виду
U+21??2+?^=0' i = I^, (*)=d/dqi, (22)
т. е. к виду дифференциальных уравнений с разделенными переменными, каждое из которых можно линеаризовать согласно п. 4.4. Преобразованием
Qi = л/2/7, dTi = г dt
система (22) приводится к системе линейных уравнений Qi(Ti) + Qi(Ti) = 0, (')=d/dn. Воспользовавшись формулой (14), найдем следующие зависимости (? от t
JCLi _
dt = + -dqj. і = 1, 71,
л/Ci- 2fi
сі — произвольные постоянные.
4.7. Система Лотка-Вольтерра
Важный тип динамических систем описывается уравнениями вида
у[ = Р{уі,ш), y'2 = Q{yi,m)- (23)
4. Линеаризация некоторых классов динамических систем
287
Некоторые специальные случаи (23) сводятся путем исключения переменных или к уравнениям вида (2Л2), или к уравнениям (6), (8), (10), эквивалентным (2 Л 2).
