Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
I1
V = -{a+?j иехр(j fdy)dy),
где а, ? — постоянные интегрирования, и, следовательно, v(y) удовлетворяет соотношению (10). •
Теорема 2.7 Для того чтобы уравнение (Y) могло быть линеаризовано преобразованием (2), необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде
у" + /у'2 + Ь^у' + ^еМ- J fdy)[b0 j fdy)dy+p=0, (12)
который приводится к (3) преобразованием
z = ? (рехр( / fdy)dy, dt = (p(y)dx.
(13)
Специальный случай получается при ср = ехр(— f fdy). • Переписав коэффициент при у'2 в уравнении (8) в виде
(1
положив и(у) = (р и подставив указанное выражения в (8) и (10), получим уравнение (12) и подстановку (13), если без ограничения общности положить в (10) а = 0.
Следствие 1. Общее решение уравнения (12) можно представить в параметрическом виде
Ci exp(nt) + C2 ехр(г2?) — с/6о, гі 7= r2 7= 0 exp(-M/2)(ci* + C2) - с/Ь0, n = r2 = -6i/2 Ci + C2ехр(—M) — ct/bi, п = 0, r2 7= 0 Ci + с2? + et2/2, n = r2 = 0 Л sm(\/M + В) - c/bo, bi = 0, 60 > 0 A Sh[Vb^t + В)- с/Ьо, h = 0, bo < 0,
? / <^ехр( / fdy)dy = <
7Cm. также теорему 1.3.
(14)
272 Глава 5
где Гк, к = 1,2 — простые характеристические корни (6); я/ш кратных корнях г к {г і = г2) уравнение (12) допускает решения вида
-т*+ №- ч Лп + <* = / rexi"J/rt!t ¦ < - <18»
2 J ?(:r) J J pexp{J fdy)dy
где t(x) — обращение интеграла (15).
• Уравнение (12) эквивалентно факторизации (5) при с = 0, которой при Ti у= г2 соответствует система уравнений первого порядка
(1 - I??/)?/ - rkuy = 0, fe = l,2.
В силу (13) и обозначения и = (р придем к уравнению (17). Пусть теперь Ti= T2 = —bi/2. Тогда справедливы формулы
ехр tk-x = ? j рехр( J fdy)dy, t = J ipdx, k = l,2. (19)
Прологарифмировав (19) и взяв от обеих частей полученных выражений дифференциалы, придем к соотношениям
-b±ipdx + {k- I)1I^L - ^ехр(/ fdy)dV 2 t(x) J ipexp(J jdy)dy
откуда следуют формулы (18).«
x=f df; чч, (15)
j <рШУ v '
где сі, с-2, А, В — постоянные интегрирования.
Отметим, что общее решение уравнения (12), полученное исключением параметра t из уравнений (14) и (15), является нелинейной функцией двух произвольных постоянных.
Следствие 2. Пусть в уравнении (12) с = 0. Тогда оно допускает следующие однопараметрические {зависящие от одной произвольной постоянной) решения:
[ exp(Jfdy)dy
rkX + d= / "Г-1 Г f . ч . > (16)
J J рехр{] fdy)dy
(где d — постоянная интегрирования), удовлетворяющие соответственно уравнению 1-го порядка
у' - rkexp(- / fdy) / ipexp( / fdy)dy = 0, (17)
2. Точная линеаризация автономных уравнений второго порядка 273 Следствие 3. Общее решение уравнения
у"+ fy'2 +VeM jfdy)(b0j fdy)dy + c/?) = 0, (20)
можно представить в виде следующих соотношений между х и у :
» = , ЄХР(/--А*. (21)
vboJ ^JAlт{с/Ьо + ?jvехр(/fdy)dyf
где А\, A2- произвольные постоянные, и в подкоренных выражениях берется знак —, если bo > 0, и знак +, если bo < 0.
• Решения (21) уравнения (20) получаются путем исключения параметра t из формулы (15) и двух последних соотношений формул (14).»
Далее находятся дифференциальные уравнения, дающие выражения для и(у) и у (у) в виде функций от х:
Теорема 3. Ядро и(у(х)) и множитель v(y(x)) линеаризующего преобразования (13) удовлетворяют соответственно уравнениям
и" + (Sr + КФ)Ф*У2 + huu' + -J^exp(- //{ф)аф)х
х(-| + bo j иехр( j /(ф)аф)ф*аи) = 0, (*) = dl du, где у = ф(и) есть обратная функция по отношению к и = ip(y);
v" + + f(F)F*)v'2 + bMF)v'+
+ j-f(F)eM-j f(F)dF)[^+b0 J ^(F)eM j f(F)dF)dF}=0, ay = F(v) является обратной функцией no отношению к функции
v{y) = jj J ехр( J f(y)dy)ip(y)dy, (*) = d/dv.
• Утверждение теоремы 3 получается непосредственно в результате подстановок у = ф(и) и у = F(v) в уравнение (12). •
274
Глава 5
Теорема 4.
1) Уравнение (12) подстановкой
Y=?j ехр(J f(y)dy)dy (22)
приводится к стационарному уравнению Льенара
Y" + ^Cp(F1(Y))Y' + If(F1(Y))(B0 f p(F1(Y))dY + c/?) = Q,
где у = F(Y) есть обращение интеграла (22).
2) Уравнение (12) подстановкой dt = Lp(y)dx приводится к уравнению
вида
y+(f+-^)y2 + biy + <P~lexP(-J f(y)dy)(bo J ip(y)exp(f(y)dy)dy + c/?) = 0.
• В справедливости утверждений теоремы 4 можно убедиться непосредственно. •
Теорема 5. Выражение
1 <Р(.У)" 3 (<Р(У)'\ 1,2 с/\ d {оол
2Ш--4{Ш) —^Л) = Ъ (23)
является инвариантом уравнения (1) относительно нелинейного преобразования искомой функции вида у = \(y)Y.
• Доказательство основывается на следующей лемме:
Лемма 1. Линеаризуемые уравнения (1) (при с = 0) можно представить в виде
у" + ai(y, у')у' + ао(у, у'у")у = 0, (24)
где
ai = -(2^ ++ biu, (25)
/О V*2 , U*V* V** ч /2 U* // , U* / ,2 /0«\
0 = Ту2 wv---?~)У ~1ГУ -hu—y+bQ. (26)
Для проверки справедливости леммы применим к факторизации (4) уравнения (1) дифференциальный аналог формул Виета, а именно
ai(y,y') =-(оц+а2), (27)
