Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
F (0 = e*G (0- (15.201)
Если F (t) расходится как еа*, то надо потребовать, чтобы параметр у превосходил a так, чтобы функция G (/) сходилась. Далее, при G (f) = 0 для t < 0 и других соответствующих условиях, которые позволят представить эту функцию интегралом Фурье (15.20), запишем
OO OO
G W = ~2ЇГ ( e^ G M ^iuvdv- (15.202)
«і
—оо О »
Перепишем последний интеграл с учетом (15.201):
со оо
F (t) = J eiuf du ^ F (v) e-we-^dv. (15.203)
-OO о
После замены переменной
s = y + iu (15.204)
интеграл по переменной v приобретет форму преобразования Лапласа
OO
^F(v)e~54v = f(s); (15.205)
о
здесь s — комплексная переменная, причем условие Res >у гарантирует существование интеграла. Заметим, что интеграл Лапласа (15.205) определяет изображение функции в полуплоскости Re S > у.
При постоянном у ds = idu. Подставляя (15.205) в формулу (15.203), получаем обратное преобразование
Y-Moo
i7W = SS J e'fWds. (15.206)
V—ІОО
Выражение (12.206) называется обратным преобразованием Лапласа. Замена ds = idu вызывает поворот линии инте-
40* >
628 г л а в a is. интегральные преовразойания
о I
о
Z
(
\ )
о і
грирования на 90°. В окончательном виде путь интегрирования представляет собой вертикальную прямую линию в комплексной плоскости, постоянная у выбрана так, чтобы
все особенности функции f ($) были слева от нее (рис. 15.9).
Интеграл Бромвича. Интеграл (15.206), определяющий обратное преобразование, известен как интеграл Бромвича, хотя иногда его рассматривают в качестве математической формулировки теоремы Фурье—Мел-лина или интеграла Фурье — Меллина. Этот интеграл вычисляется обычными методами контурного интегрирования (см. гл. 7). Если /> 0, то можно замкнуть контур полукругом бесконечного радиуса в левой полуплоскости. Тогда на основании теоремы о вычетах (см. разд. 7.2).
F (0 = 2 (вычеты в полуплоскости Res<y). (15.207)
Замыкание контура в левой полуплоскости при вычислении интеграла может, вероятно, показаться парадоксальным с точки зрения первоначального требования Res>y. Однако никакого противоречия в этом нет, если учесть, что требование Res>y обеспечивало сходимость интеграла Лапласа, который определял функцию-изображение f ($). После того как / (s) уже найдена, можно восполь- . зоваться ее аналитическими свойствами в любой области комплексной плоскости. В частности, для отыскания оригинала мы применяем метод аналитического продолжения в левой полуплоскости, аналогичный прием был использован для распространения определения интеграла Эйлера (10.5) на левую полуплоскость.
Рис. 15.9. Особенности функции е8* f (s) (обозначены светлыми кружками) в s-плоскости. ifi.ti. ofetiafhoe ПРЕОБРАЗОВАНИЕ лАИлАсА
629
Поясним смысл формулы (15.206) на следующих двух примерах.
Пример 1. Пусть / (s) = a/(s2—а2), тогда
es'/ (5) =
aest aeSf
(15.208)
s2—a2 (s-f-a) (s—a) '
Эта функция имеет простой полюс в точке S=а с вычетом еа*/2 и второй полюс в точке S = —ас вычетом e~at/2
2 вычетов = (eaf—е-а<)/2 = shd/ (15.209)
в согласии с выражением (15.88).
Пример 2. Пусть f (s) = (1— e~as)/s, тогда
pSt / (xSt \
(15.210)
Первый .член в правой части имеет простой полюс в точке S = O с вычетом, равным 1. Тогда на основании (15.207)
»-{i:
>0, <0.
(15.211)
(15.212)
Отвлекаясь от знака минус и множителя e~as, находим, что второй член в правой части также имеет простой полюс в точке s = 0c вычетом 1. В соответствии с теоремой запаздывания (15.207)
Следовательно,
[0, t< 0,
F(t)=Fi(t)-F2(t) = {\, 0<<<a» (15.213)
Ioi f>a.
Таким образом, мы получили функцию включения единичной высоты и длительностью а (рис. 15.1 U)
Теперь уместно высказать два общих соображения. Во-первых, мы убедились в плодотворности ¦ обратного преобразования. В случае более сложного изображения, которое отсутствует ;В таблицах преобразований " Лапласа, можно всегда воспользоваться формулой (15.207).
Во-вторых, проведенный вывод формулы обращения нельзя признать вполне корректным. Скорее, данный вывод можно считать только конструктивным, хотя его можно
Рис. 15.10. Функция включения конечной длительности. 630 глава is. Интегральные Преобразования
сделать и совершенно строгим. Отыскание обратного преобразования в какой-то мере аналогично решению дифференциального уравнения. При этом процедура весьма незначительно отличается от той, которой пользуются, решая уравнение. При необходимости вполне допустимо попытаться угадать решение, которое всегда можно проверить с помощью обратной подстановки в исходное дифференциальное уравнение. Точно так же оригинал F (t) можно (а для проверки возможной ошибки и должно) проверить, подставляя его в уравнение (15.82):
Скорость электромагнитной волны в дисперсной среде.
Групповая скорость и бегущей волны связана с фазовой скоростью V уравнением
где X — длина волны. Вблизи линии поглощения (резонанс) производная dvldk может стать отрицательной (рис. 15.11),
Рис. 15.11. Оптическая дисперсия: / — аномальная область.
