Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ci = Iim (s-at) f (S). п5 95)
В элементарных случаях часто гораздо проще прибегнуть к прямому решению.
Пример 1. Имеется изображение
'«-¦^Гт+"®-- <15'96)
Приведем правую часть (15.96) к общему знаменателю, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях S в числителе:
fe2 _ C(S2 + fe2) + s(as + &)
Имеем c-|-a = 0 (при s2)? J7-O (при s1) и c№ — k2 (при so). При s ф О получим с= 1, b = 0, а= — 1, откуда
'W- 4-UW- (|5-98)
и, наконец, воспользовавшись результатами (15.85) и (15.90), окончательно
JS-I {/(s)}=!-cos Af. (15.99) 604 г л а.в а 15. интегральные преобразования
Пример 2. В качестве примера практического использования преобразования Лапласа вычислим интеграл
СЛJ
W-IijI
о
ІХ
А X.
(15.100)
Применим к этому несобственному интегралу преобразование Лапласа
OO OO
„ , sin tx . 1 Г Г sin tx X
[^dx]= je-' \™^dxdt.
* J J J *
о о
Изменим порядок интегрирования, в результате чего
ОЭ OO OO
dx
(15.101)
J-KJ
e~s' sin
txdt]dx- J ^2
O
J
(15.102)
O O
поскольку выражение в квадратных скобках представляет собой преобразование Лапласа sin xt. С помощью таблиц интегралов находим, что
щ Jt 2
ж f 2
OO
f dx 1 I ( X Wco
Js-q^=T-arclglT)|o =
Я 2s"
f{s). (15.103)
Рис. 15.4. Функция включения Вновь обратимся к выражению
00 (15.85), и окончательно
, /л ? sin tx Ї V) = J dx.
о
я
F (Or=-*-, <>0, (15.104)
в согласии с ранее проделанным вычислением, выполненным на основе теории вычетов (см. разд. 7.2). Предполагалось, что аргумент F (0 удовлетворяет условию f>0. Для F(—t) заметим только, что sin (—tx) = —sin tx, поэтому F ( —0= -~F (t). Наконец, очевидно, что при ^O F (O) = O. Следовательно,
л
T О,
КО.
OO
f ^dx =
J *
t> О, ' = O1
(15.105)
OO
Интересно, что интеграл j (sin txfx) dx, если понимать его как функ-
O
цию t, представляет собой ступенчатую функцию (функцию включения) со скачком в точке t—O, величина скачка равна я (рис. 15.4). 15.8. преобразование лапласа производной 605
Упражнения
1. Доказать, что Yimsf (s)= Iim F (t). Указание. Предположить,
s-y о f-H-0
что F (0 может быть представлена рядом F (0 = 2 antn.
2. Показать, что — lim<S?{cosx?}=6(*).
jx 8-У 0
15.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ПРОИЗВОДНОЙ
Вероятно, самое важное приложение преобразований Лапласа — это приведение дифференциальных уравнений к более простым формам, которые позволяют легко находить их решения. Например, система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Преобразуем первую производную оригинала F (t)
со .
X {F (/)} - J е-' dt = Q-stF (t) I? + о
OO
+ S j e~8fF (t) dt = sX {F (O) ¦- F (0). (15.106)
о
Строго говоря, F (0) = F (+0) *, а производная dFIdt должна быть, по крайней мере, кусочно-непрерывной в интервале 0</<оо. Естественно, необходимо, чтобы и оригинал F (tj*и его производная были интегрируемы. Формулу (15.106) I можно получить и другим способом (см. упр. 1 к разд. 15.7). Аналогично
X {F{2) (t)} = S2X {F (t)} - sF (+ 0) - Ft (+ 0), (15.107) X [F{n) (t)} = snX {F (t)} - Sn-1F (-4-0) —
— sn-*F' (+ 0) - ... - F(n_1) (¦+ 0). (15.108)
Любопытно, что начальные условия F (+0), F' (+0) и т. д. вошли составной частью в формулы преобразования. Формула (15.107) позволяет получить изображение sin R Будем
* Означает приближение к нулю со стороны положительных значений аргумента. 60G ілліча 15. иитр.грллы1ыг. іірпопрлзоплііия
исходить из тождества
Н2
- k2 sinkt = ^5-sin kt, (15.109)
к обеим частям которого применим преобразование Лапласа: - k2X {sin kt) = X j ~ sin kt j =
= S2X {sin kt) - S sin (0) - Sin kt (15.110) Поскольку sin0 = 0, a —
її
X {Sin«} =JrJr,, (15.111)
и мы вновь приходим к формуле преобразования (15.90).
Простой гармонический осциллятор. Рассмотрим массу т, осциллирующую под действием идеальной пружины с коэффициентом упругости k. Трение не будем учитывать, в соответствии со вторым законом Ньютона
т&Ш + кХ({) = 0 (15.112)
при начальных условиях X(O)-X0, Xr(O)=O. Подействовав преобразованием Лапласа, получим
тХ {^}+kX{X(t)) = 0; (15.113)
учтем далее уравнение (15.107), тогда
ms2x (s) - msXo+kx (s) = 0, (15.114)
'W=^irpsr tt^l- (15Л15)
С учетом результата (15.90) полученная функция — изображение cos ю/, следовательно, как и можно быЛо ожидать,
XM-X0cos(o0'. (15.116)
Нутация Земли. Несколько более сложный пример дает рассмотрение нутации полюсов Земли. Будем считать Землю правильным (сжатым у полюсов) сфероидом, тогда 15.8. преобразование лапласа производной 607
уравнения движения Эйлера запишутся так:
~=-aY, ^=+ аХ, (15.117)
где a = [(Iz—Ix)/Iz]wz; X -=Wx, У = ыу —
компоненты вектора угловой скорости (о = (O)x, о)„, (Oz); Iz — момент инерции относительно оси Z, a Iv — Ix (моменты инерции относительно осей хну). Ось Z совпадает с осью симметрии Земли и не совпадает с осью суточного вращения Земли со, причем измеренное на полюсе это отклонение составляет около 15 м. Преобразуем систему дифференциальных уравнений (15.117)
