Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 159

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 185 >> Следующая

который должен быть, по крайней мере, кусочно-непрерывным, экспоненциально исчезало при большом s, а инте-

OO

грал I e~8<F (^) dt равномерно сходился. В этом случае І

подынтегральную функцию можно продифференцировать под знаком интеграла по Sf тогда

OO

f (s) = \ (-t)e~*lF(t)dt = X{-tF(t)}. (15.155) Jo

Продолжая этот процесс, получаем

f(n) (S) = X {(-t)nF (t)). (15.156)

Все такие интегралы равномерно сходятся в силу экспоненциального спада подынтегральной функции e~8t F (/).

В качестве примера применения рассмотренного свойства отметим, что с его помощью можно Получить формулы преобразования Лапласа некоторых новых функций. Действительно,

оо

X{tkt}= je-'fe^ = ^-, s>k. (15.157)

S — k

Дифференцируя по S (или по k), получаем

2(^} = -;^-, s>k. (15.158)

Уравнение Бесселя. Используя дифференцирование преобразования Лапласа, будем решать уравнение Бесселя с/г = 0, которое можно записать так (см. гл. 11):

х2у" (х) + ху' (х) + х2у (X) = 0. (15.159)

Разделим это уравнение на х и для приведения его в согласие с принятыми обозначениями положим t = X и F (t) = = у (х). После этого уравнения Бесселя приобретет вид:

tF" (0 + F'(t) + tF (t) = 0. (15.160)

Будем искать регулярное решение этого уравнения при условии F (0) = 1. Кроме того, предположим существование изображения и искомого оригинала F (t). Применим 617 г л а.в а 15. интегральные преобразования

преобразование Лапласа к этому уравнению и учтем (15.107) и (15.155), тогда

d Is2/ (s) — sj -f sf (s) — 1 —-^7 f (s) — 0- (15.161)

ds 1 ' w ds

Поскольку F(O) ограниченна, из уравнения (15.160) следует, что ' F' (0) = 0. Перегруппируем члены в уравнении (15.161)

(SHl)T(S)+5/(S) = 0 (15.162)

или

T=-^r- (15Л63)

Интегрирование последнего выражения дает

In f(s) = - (1/2) In (S2 + 1) + InC, (15.164) откуда следует, что

I(S)=T--ClVOrFi. (15.165)

Для того чтобы иметь возможность применить формулу (15.91), разложим изображение / (s) в ряд по отрицательным степеням S, который сходится для s> 1:

1 f ьз I ("Dw(Zn)I . 1

s L 2s2 ^ (22.21)2 s« •' ' ^ (2ntl\)2 $2П -г • • • J .

(15.166)

Теперь по заданному изображению перейдем к оригиналу

OO

f^=cSw2- (15Л67>

п=0

Из условия F (0) = 1 постоянную С нужно положить равной 1, йо в таком случае F (t) совпадает с уже известной функцией Бесселя нулевого порядка J0 (/). Следо» вательно.

' і ^.МОНу==-- (15.168)

Напомним, что это справедливо при условии s > 1. Случай S > 0 нуждается в дополнительном исследовании. 15.7. элементарные преобразования лапласа

617

Рассмотренное применение преобразования Лапласа оказалось сравнительно легким, вероятно, только потому, что в уравнении Бесселя п было положено равным нулю. Это позволило исключить одну степень X (или t). Если же этого не сделать, то из-за членов вида t2F (t) появится вторая производная изображения / (s). Решение окончательного уравнения при этом усложнится.

Если мы не захотим ограничиваться линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, то по-прежнему сможем пользоваться преобразованием Лапласа, однако это не гарантирует получение решения.

С приложением разработанного метода к уравнению Бесселя с л^О. можно подробно ознакомиться в литературе по преобразованию Лапласа. С другой стороны, разлагая Jn (і) в бесконечный ряд и затем почленно применяя преобразование Лапласа, можно показать (см. ниже упр. 5), что

И) "-^fflH". (15.169)

Интегрирование изображения. Если F (t) кусочно-непрерывна, а X достаточно велико, так что функция e~xt F (t) экспоненциально убывает (когда *->оо), то интеграл

со

f (х) = J (О А (15.170)

о

равномерно сходится по х, поэтому можно изменить порядок интегрирования в следующем выражении:

b b а~> со

\ f (х) dx = j j e-**F (t) dt dx= (e-" -e-M) dt.

s o

(15.171)

Значение нижнего предела интегрирования s выбрано достаточно-большим с тем, чтобы'f(s) попадала внутрь интервала равномерной сходимости. Теперь перейдем к пределу b —тогда

OO OO

J Kxydx^ J е-'dt . (15.172) 618 г Л А Ь А 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Из приведенного рассуждения следует, что функция F (t)/t в точке ^ = O конечна или расходится не быстрее, чем Ґ1 (таким образом, X{F(t)ft) будет существовать).

Упражнения

1. Решить уравнение для затухающих колебаний (15.137) при начальных условиях X(O)=Xq, X' (O)=O для двух случаев:

1) b2=4km (граница затухания, критическая точка); 2) &2>4?т (сильное затухание).

Ответ. X(/)=X0e-W2m>< (l+^f) .

2. Решить уравнение (15.137) при начальных условиях X(O) = O, Xt (O) = U0 Для трех случаев: 1) 62<4Am (слабое затухание);

2) 62~ 4km (граница затухания, критическая точка); 3) 62>4?m (сильное затухание).

Ответ: 1) X(/) = -^-e-(b/2m)'sinc>>/; 2) X (0 = t>o'e~(b/2m)/.

3. «Звенящий» контур. Некоторый контур составлен из параллельно включенных сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 15.6).

Рис. 15.6. «Звенящий» контур.

Параллельно включенный в контур источник поддерживает постоянное напряжение на всех его элементах и заряжает конденсатор. В момент f=0 контур отключается от источника напряжения. Найти напряжение на всех элементах контура в зависимости от времени. Предположить, что сопротивление велико. В соответствии с законом Кирхгофа
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed