Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
SX (s) — X (0) - -ay (s), sy (s) -Y(O) = ах (s). (15.118) Исключим из уравнений (15.118) функцию у (s) s2 X (S) — sX (0) + аУ (0) - -а2х (s)
или
*(*) = *(0)^-П0)^2, (15.119)
отсюда
X(I) = X (0) cos at -Y (0) sin а/. (15.120) Аналогично
Y (t) = X (0) sin at + Y (0) cos at. (15.121)
Мы получили вращение вектора с компонентами X и Y против часовой стрелки (для а > 0) вокруг оси z под углом 0 = at относительно этой оси с угловой скоростью а. Непосредственную интерпретацию этого эффекта можно дать, если положить Y (0) = 0. Тогда уравнения
X (O = X(O) COSflrf, У (0 = Х (O)sin at (15.122)
определят в параметрической форме вектор, конец которого вращается против часовой стрелки по круговой орбите радиусом X (0) с угловой скоростью а.
Для Земли величина X (0) составляет примерно 15 м, а определенная здесь угловая скорость а соответствует периоду (2л/а), равному около 300 суток. В действительности же наблюдается отклонение от формы идеального 608 г л а.в а 15. интегральные преобразования
сфероида, для которого и были записаны уравнения Эйлера, поэтому на самом деле период оказывается равным 427 суткам.
Если в уравнениях (15.117) положить X (t) = Lxt Y (t) = Ly (здесь Lx и Ly — х- и ^-компоненты момента количества движения; . а = —gLBZi gb — гиромагнитное отношение, Bz — магнитное поле вдоль оси г), то уравнения (15.117) будут описывать прецессию Лармора заряженного тела, которое помещено в однородное магнитное поле Bz.
Дельта-функция Дирака. При решении дифференциальных уравнений часто используется изображение б-функции Дирака:
OO
?{6(/-/о)Н je-8<o(^o)d/ = e-s'o, fo>0 (15.123)
о
и
?{6(0)=1, ^o = O. (15.124)
Здесь мы исходили из представления б-функции в виде
OO
j б(0dt =It 6(0 = 0 для *>0. (15.125)
о
В качестве альтернативного метода рассмотрим 6(0 как предел при є —> оо функции F (t), где
[О, *<0, F (0 =Ie"1, 0<;<е, (15.126)
І0, t > е.
Прямым вычислением получим
X{F(t)) = LzfZ. (15.127)
Перейдем к пределу уже в конечном результате (а не под
знаком интеграла), тогда limX (F(O)=I или # {6 (O)=L
8-*0
Рассмотренную функцию часто называют импульсной, поскольку она описывает импульсные силы, т. е. силы, действующие очень короткое время.
Импульсная сила. Запишем второй закон Ньютона, сформулированный для короткого действующего импульса 16.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ПРОИЗВОДНОЙ 609
силы, приложенной к массе т:
"mg = M(0'; (15.128)
где P — постоянная. Применим к уравнению (15.128) преобразование Лапласа
msh (s) - msX (0) - тХ' (0) - Р. (15.129)
Для частицы, ,которая в начальный момент покоилась, X' (0) = 0 Кроме того, будем полагать, что X (0) = 0, тогда
X(S)=PImSi, (15.130)
X (t) = (PIm) t, (15.131)
Эффект импульсного воздействия силы Pb (t) состоит в мгновенной передаче частице импульса величиной Р.
Аналогичным образом рассматривается работа баллистического гальванометра. Вращающий момент гальвано-Mefpa задается исходной величиной kj, где j — импульс тока, a k — коэффициент пропорциональности. Поскольку элеетрйческий ток / проходит за очень короткое время, можно обозначить kj = kqb (t), где q — общий заряд. Тогда, если обозначить момент инерции /,
(15.133)
а затем преобразовать это уравнение, то получим, что воздействие короткого импульсного тока на гальванометр заключается в передаче ему вращательного момента величиной kq.
Упражнения
1. Используя формулу преобразования Лапласа для второй производной, получить формулу преобразования функции cos И.
2. Если оригинал F (І) может быть разложен в степенной ряд
(ТейЛора или Лорана), т. е. если F (0=2 a^n и mrrerPan
«
* Под этим нужно понимать X' (+0). Влияние самого импульса учтем таким образом, как будто он включился в момент t = е, а затем перейдем к пределу е 0.
39-1257 I
610 глава 15. интегральные преобразования
OO OO
j е~9І 2 <*ntn dt, или 2 an j e~sttndt, существует, то изображение Om n О
f (s) не содержит степеней S, превосходящих S-1. Доказать это утверждение. Проверить его, взяв преобразование JS {б (')}, и объяснить отрицательный результат.
3. Радиоактивные ядра распадаются в соответствии с законом dNjdt — —%N. Здесь N—концентрация данных ядер, X—постоянная радиоактивного распада. Это уравнение показывает, что скорость распада пропорциональна числу радиоактивных ядер.
Распад радиоактивного ряда, состоящего из п сортов различных ядер, описывается системой дифференциальных уравнений:
d^ ^X1N1-X2N2,
Nfi-i, стабильный изотоп.
Определить для трех сортов ядер функции Ni (t), N2 (0 и N3(Z), удовлетворяющие начальным условиям Ni (O)-No, N2(O)=N3 (O)=O.
Ответ: Ni(t)=N0e'Klt, N2(I)=^N0 ^r (e^'-e^2*), N3=
\ K2 — Aj K2—Ai /
Для малых t найти приближенное значение N2 и N3 при условии, что
Ответ: N2 ^ N0Xit, N3 ^ XiX2P.
Для больших t найти приближенное значение N2 и N3, когда Ari X2 и ^i A-2« Ответ:
.... «..„--Ч Г^^^о^е-Ч
М» 1: { . , А 1:
(N2 % N0Q N3^N
(1-е-Ч,
"K2
[N3^ N0(I-^t).
