Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
n b
. Ф (X) = f (X) + X 2 Mj (X) Г Nj (t) ф (/) dt. (16.69)
і=і І
В последнем уравнении мы поменяли порядок интегрирования и суммирования. Теперь интеграл по переменной t — постоянная величина:
ь
]Nj(t)y(t)dt = Cj. (16.70)
а
С учетом этого уравнение (16.69) дает искомое решение
п
Ф W = / (X) + я S CjMj (х). (16.71)
J=I
Остается только определить постоянные коэффициенты Ci. Они определяются умножением уравнения (16.71) на Ni (*) и интегрированием по х, что позволяет исключить зависимость от этой переменной. С помощью уравнения (16.70) получим
71
Ci^bi + X ^aijCj, (16.72)
3-і
где
b ь
bi = J Ni (х) f (х) dx, аи =^Ni (х) Mj (х) dx. (16.73)
а а
Полезно записать уравнение (16.72) в матричной форме с помощью матрицы А = (аи):
с-XAc^b = (X-XA) с, (16.74)
или
с = (\-ХА)~гЬ. (16.75)
Такая запись эквивалентна системе совместных линейных алгебраических уравнений
(1 — Xa11) C1 — Xai2C2 — Xai3C3 — ... = ^1,
— Xa2iCi +(\-Xa22) C2-X23A3-... =b2, . (16 76) — ^a31C1 — Xad2C2 + (1 — Xa33) C3— ... = 63, 652
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если исходное интегральное уравнение однородно, т. е. f (X) = 0, то Ь = 0. Для отыскания решения приравняем нулю определитель, составленный из коэффициентов Ci (см. разд. 4.5):
ХЛ 1 = 0- (16.77)
Корни уравнения (16.77) и определят искомые собственные значения. Подставив их в (16.75), найдем коэффициенты Cii а затем с помощью (16.71) —и искомое решение.
Пример 2. Проиллюстрируем на простом примере технику определения собственных значений и собственных функций однородного уравнения Фредгольма:
1
ф (X) = X j (t + x)y(t)dt, (16.78)
-1
где Mi = 1, М2(х)=х\ Ni(t) = t, N2 = 1. Из уравнений (16.73) имеем аи~^22=0, ai2=2/3, 021 — 2. Секулярное уравнение (16.77) запишем в явном виде через определитель
= 0, (16.79)
і ~зуз
. -2Х 1 из которого
1—4X2/3=0, X = ± 1/3/2. (16.80)
Найденные собственные значения ~|/3/2 подставим теперь
в уравнение (16.75), тогда
CiTC2IYZ=O. (16.81) Наконец, положив Ci = I, из уравнения (16.71) получим
Фі(*МУЗ/2)(і + УзД X = 1/3/2; (16.82)
ф2(*)=-(Уз/2)(1 —Уз*), Х=-Уз/2. (16.83)
В данном случае нормировка ф(х) несущественна, так как мы рассматривали однородное уравнение.
Упражнения
1. С помощью ряда Неймана решить уравнени (ф (х) = е~х2)
X X
ф(*)=1—2 j iy(t)dt, ф(*)=*+j* —JC)Ф(0
Ф (je)=*— jj (t—x)y(t)dt. 16.4. ТЕОРИЯ ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА
653
2. Используя метод вырожденного ядра, решить уравнение
1
......dt
і
і
и сравнить полученный результат с решением, которое записано через ряд Неймана (см. разд. 16.3). Ответ: ф (л:) = (Зд: +1 )/2.
3. Найти собственные значения и собственные функции уравнений:
2it
Ф(х) — X J (t—x)y(i)dt, ф = Х I cos (х — t) ф (0 dt,
-1
о dt.
Указание. Для решения последнего уравнения можно воспользоваться
методом вырожденного ядра или разложением в ряд Лежандра.
»
16.4. ТЕОРИЯ ГИЛЬБЕРТА—ШМИДТА
Симметризация ядер. Исследуем свойства линейных интегральных уравнений (типа Фредгольма) с симметричными ядрами
К (xt t) = К (U х). (16.84)
Однако прежде4чем вплотную заняться теорией таких уравнений, следует особо остановиться на некоторых специальных случаях уравнений с несимметричными ядрами, которые могут быть симметризованы. Пусть задано уравнение
V(x) = f (х)+ X ^ К (х, t) р (t) ф (t) dt, (16.85)
о
в котором полное, ядро K(x,t)p(t) несимметрично, если, конечно, функция К (х, t) симметрична. Однако если умножить уравнение (16.85) на Vp(x) и сделать замену
= + (16-86)
то можно получить уравнение
ъ
ф (х) = Yp(X) f W + * J IK W о Vp(X) P (О] Ф(0 dt, (16.87) 654
>
Г Jl А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
в котором полное ядро
К (.X, t) Vp (X) P (/) (16.88)
окажется уже симметричным. В дальнейшем функция р (х) будет называться весовой.
Ортогональные собственные функции. Рассмотрим однородные уравнения Фредгольма второго рода
b
ф (Jt) = я J/с (JCt t)y(t)dt. (16.89)
а
Будем предполагать, что ядро /( (х, t) симметрично и вещественно. По-видимому, математик прежде всего спросит: «Существует ли собственное значение Xt удовлетворяющее этому уравнению?» Показано *, что существует по крайней мере одно такое собственное значение (а возможно, и бесконечно много), если К (xt t) непрерывно.
Сейчас мы докажем, что собственные значения X вещественны, а соответствующие им собственные функции ортогональны. Возьмем два разных собственных значения Xi и Xj и соответствующие им собственные функции Фі (х) и (X). Они удовлетворяют уравнению (16.89) b b фі (х) = Xi J К (х, t) фі (t) dt, (pj (х) = Xj j* К (х, t) фj (t) dt.
а
(16.90)
Умножим первое из них на Xj^j (jr), а второе на Xi^i (jr) и полученные результаты проинтегрируем по Xt тогда ** b b b Xj j фі (л:) фj(x) dx = XiXj ^ j К (X, t) ф* (/) ф j(x) dt dx,
(16.91a)
a a
b b
Xi ? ф{ (л:) фj (л:) dx = XiXj j ^ K (x, t) фу (0 фі (Jt) dt dx.
a a
(16.916)
* Доказательство см. в книге Гильберт Д. и Кура н т Р. Методы математической функции. Перев. с англ. М.-Л., Гостехиздат, 1951. , .
