Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Выбор одной из них целиком определяется соображениями удобства. Если а — натуральное число, интегралы (10.68) имеют вид
п— 1
Y(я, х) — (п— 1)! — (1 — е-* 2 j^-) > '
8=0
71-
1
8=0
(10.70)
При нецелых а разложение 7 (а, х) в степенной ряд и асимптотическое разложение Г (а, х) получены в разд. 5.6, 5.10:
OO
71=0
І-ЛГ
Г
I.
П=0
(а-1)1 JL
(а— 1 —/г)!' хп
е-х X
S-2 М)
п=0
п (л —fl)l JL
(—а)! ' ^ti
(10.71)
Неполные гамма-функции могут быть записаны через вырожденные гипергеометрические функции (см. разд. 13.5).
Интегральная показательная функция. Неполная гамма-функция Г (а, х) в ее общей форме (10.68) сравнительно редко встречается в решениях физических задач, тогда как некоторые специальные случаи, соответствующие опре- 410
ГЛАВА 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ
деленным частным значениям аргумента, очень распространены и находят широкое применение. Рассмотрим
Рис, 10.5. График интегральной показательной функции ?i(x)= = — Ei (—X).
интегральную показательную функцию (рис. 10.5), определенную тождеством *
OO
-Ei (-*) S J-CK = Ei (х). (10.72)
Тогда
El(X) = Ti0, *) = Iim[Г(а)-у(а, х)]. (10.73)
а-> О
Следует помнить, что интеграл (10.72) имеет логарифмическую особенность при х->0. Выделим эту особенность в отдельный член
OO
00.74)
П=1
а затем, пользуясь правилом Лопиталя и определением дигамма-функции (10.40), получим выражение для E1(X)
OO
E1 W = -C-Inx- 2?!, (10.75)
It= 1
справедливое при малых х. Асимптотическое разложение приводится в разд. 5.10.
* Наличие двух знаков минус связано с исторически прииятым обозначением. 10.5. НЕПОЛНАЯ ГАММА-ФУНКЦИЯ
411
К другим функциям, которые связаны с интегральной показательной функцией, относятся интегральные синус,
Рис. 10.6. Графики интегрального синуса и косинуса.
косинус (рис. 10.6) и логарифм, определяемые формулами
OO OO
Si(^)=-JiiILLdt; Ci (X) =-JA;
x x
x
IiW= JlFF = Ei(lnw)-
x
Можно показать, что
(10.76)
Si (х) = [Ei (ix) - Ei (- ix)\,
(10.77)
(10.78)
Ci (х) =у [Ei (ix) + Ei (-«)].
Складывая эти два равенства, получаем
Ei (ix) = Ci (дг) + і Si (х), (10.79)
т. е. связь этих интегральных функций аналогична связи между функциями еіж, со§ X и sin X. 412
»
Г JI Л В А 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Степенной ряд в окрестности начала, а также асимптотическое разложение для Si (*), Ci (х) и Ii (х) могут быть получены из соответствующих разложений интегральной экспоненты -Ei (—х).
Упражнения
OO
-I
Г е-1
!.Доказать, что интегральная экспонента равна \—j— dt =
X
со
= —С—InJt- 2j ¦ п ^—. С—постоянная Эйлера.
Tl-I
2. Показать, что для неполных гамма-функций у (а, х) и Г (а, Jt) справедливы соотношения
OO
Y (а, х) = ха!г j е-?а/2-1)/а (2 (jc/),/2J dt, Re (a) > О, О
00
Г (а, X)= fa{lS* J e-4-a'2KaP(xt)l/2]dt, Re (а) < 1.
о
Указание. Воспользоваться степенным рядом для функции
Ja[2(jc/)1/2] (см. разд. 11.1). Выразить Ka через Ia и использовать степенное разложение (см. разд. 11.4).
3. Показать, что
dm
— [х-*у(а, х)) = (~\Гх-а-™У(а+т, *),
^w г -г / M г Г (a) , ч
— [е*у(а,х)) = е*Т(^у(а-т, х).
4. Доказать справедливость рекуррентных соотношений для неполных гамма-функций у (а, х) и Г (а, х):
у (а+1, x) — ay(at х)~хае-х, Г(а+1, х)~аГ (а, х)-\-хае~х.
со
5. Показать, что у (а, *) —е-*^ (а+я)!
п—0
Сделать это: 1) интегрируя по частям; 2) приводя записанное выражение для у (а, х) к ее определению (10.71).
6. Используя обычную замену переменных, привести функцию
OO
:»(*)= j
e-xi
dt
tn
і
к интегральной экспоненте (10.72). Показать, что En (х) удовлетворяет рекуррентному соотношению
п= 1, 2, 3, ... ГЛАВА 10
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
11.1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА
Производящая функция. Функции Бесселя интересны в основном как решения дифференциального уравнения. Полезно однако рассмотреть совершенно иной способ определения, используя производящую функцию:
g(x, Ц = (11.1)
Этот способ позволяет сконцентрировать все внимание на самой функции, а не на дифференциальном уравнении, которому она удовлетворяет.
Представление рядом. Разложив производящую функцию (11.1) в ряд Лорана (см. разд. 6.4)Ц получим
OO
е(«/2)( 1-1/0= 2 Jn(X) Г, (11.2)
П=—OO
где Jn (*) — коэффициенты при tn — функции Бесселя первого рода целого порядка п.
Раскладывая в ряд показательные функции, получаем
OO со
Є-/..Є-/«= (1,.3)
Г= О 5=0
При заданном s выделим коэффициент при степени fl (ti> 0) из члена
/ X \n+s fn+s , IVS / M8'"8 /11 Л\
1т) тад"1"1* (т) IT- (11-4)
Он окажется равным*
OO
'-M-S A (ІГ- (П.5)
8=0
* Из способа получения этого ряда и из его свойств сходимости должно быть ясно, что переменную X в нем можно заменить на г, !•де і — любая точка комплексной плоскости. 414
Г Jl А В А II. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
і
Функция Бесселя для п < О определяется рядом
OO
п=0
полученным из (11.5) простой заменой п на — п. Поскольку здесь л —целое число, (5—п)\ —> оо для s = 0, ...,(л—1).
