Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
о2 а2
т\п\ = lim \e~numdu \e~vundv, Rem>—1, Re/i> — 1. «.->«» J J
(10.56) !OJ. ІІЕТЛ-ФУИКЦИЯ
408
Сделав замену и х2 и V--у2, получим
гю il
т\п\ — Iim 4 f e-«Vm+1d* \ e-vyn+1<fy. (10.57) а~>0° { І Запишем соотношение (10.57) в полярных координатах
а Л/2
т\п\ = Iim 4 \ e-rV2?n+2n+3 dr f cos2m+19 sin2n+10 dQ =
a-oo J0 J
я/2
= (m + л +1)! 2 J Cosmn B sin2n+10 dO, (10.58)
о
в котором определенный интеграл вместе с множителем 2 называется бета-функцией:
я/2
Я(т+1, /1+1) = 2 j cos2W+10sin2n+1 ЄdQ =
о
= рігййп)Г=В(я+І1 m+1)" (10-59)
Здесь аргументами выбраны n + 1 и т + 1, что связано с традиционными обозначениями.
Рис. 10.4. Переход от декартовых координат к полярным.
На переходе от декартовых координат к полярным следует остановиться особо. Как видно из рис. 10.4, затемненная часть площади не учитывается при таком переходе. 406
ГЛАВА IO. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Однако максимальное значение функции в этой области равно en2a2m і-2,И \ откуда видно, что при стремлении а к бесконечности интеграл по этой области исчезает, поскольку подынтегральная функция обращается в нуль.
Определенные интегралы, другие формы. Прежде всего бета-функцию используют при вычислении определенных интегралов, которые имеют форму интеграла в (10.59). Подстановка t = cos2 0 сводит бета-функцию к интегралу
і
В(т-И, я+1)= Jr(I-Z)nCttl (10.60)
о
который почти аналогичен интегралу из (10.9). Другая подстановка t = ti/(\-\-u) приводит к виду
со
if.m
(T+^rnrer,dn. (10.61)
0
Если в интеграле (10.61) положить т — а, п— —а, — 1 < а < 1, то
OO
((TfT^Td" = 0' (-«)! C0-62)
0
Интегрированием по контуру можно показать, что этот интеграл равен Jta/sin па (см. гл. 7); таким образом, мы иным путем получили формулу (10.32).
Формула удвоения Лежандра. Представление бета-функции в виде (10.59) позволяет воспользоваться этой функцией при выводе фюрмулы удвоения (см. разд. 10.3). Для Re г > — 1
і
-^gjr=Jni-ty dt. (10.63)
о
Сделаем замену t = (\-\-s)/2r тогда
1 і
2-2—і j J (\-srds. (10.64)
-і о
Изменение пределов интегрирования оказалось возможным благодаря четности подынтегральной функции. Чтобы 10.4. БЕТА-ФУНКЦИЯ
407
вновь привести этот интеграл к виду (10.60), используем
замену и — S2:
2)21 = 2-2^-1
(2z+1)!
1C -і "(-т)1
ні-«)2« 2du^^2z-1 .v : / о H-T'
(10.65)
Перегруппировывая члены и учитывая, что (—1/2)! = я1/2, мы немедленно приводим это уравнение к одной из формул удвоения Лежандра
z! (2 + 1/2)1 = 2-^-^(22+ 1)1 (10.66)
Поделив на 2+1/2, получим еще одну форму записи этой формулы:
z\ (г- 1/2)! = 2-2zJi1/2 (2z)! (10.67)
Хотя интегралы, которыми мы пользовались при получении формулы удвоения, определены только для области Re2> — 1, формулы (10.66) и (10.67) благодаря известному методу аналитического продолжения справедливы ДЛЯ любых 2*. Ч
Упражнения
1. Вычислить интегралы (используя бета-функцию) Я/2 я/2 Я/2
j (ctg Є)1/2 rfO, j cos4/3 0 sin5/3 ejdo, j cos1/2 0 dd,
0 0 0
n/2 я/2
j CosnOrfO= j sin" 0 ?/0. 0 0
Gm«,«. Я 2 (б")'("З")' '2^2 V^K/г— 1)/2]?
ys• з у ЇЇ ' ЩЩ2' 2^1 '
2. Проверить тождества
¦В (а, Ь)~В(а-\-1, Ь)-\-В(а, 6+1), ?(tf| Ь+І),
о
і._і
B(IUb) E=--В (а 1-1, 6— \),B(u,b)B(a |-b,c) _= B(b,c)B(a, fr+c).
O
* Если 2z — целое отрицательное '.тело, получается неопределенность тина оо —оо. 408
Г Jl Л В Л 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ
1
3. Вычислить интеграл J (1 + *)а (1 — x)b dx, ответ представить
-1
через бета-функцию.
Ответ. 2a+b+1? (а +1, b-1-1).
4. Показать, что В (р, р) В (р + у ' ^ + у) ' Указание-
Воспользоваться формулой удвоения.
5. Показать с помощью бета-функции, что
dx л п . ..
0<а< 1.
j (г—д:)1-« (х-0а sinJla
Этот результат будет использован в разд. 16.2 для решения обобщенного интегрального уравнения Абеля.) 6. Показать, что интеграл Дирихле равен
JJ
^fcJi, «У+І1
* (/Ч-<Н-2)1 p+q+2
Область интегрирования—треугольник, ограниченный положительными полуосями х и у и линией х-1-1-- 1.
7. Получить формулу удвоения для факториальной функции, интегрируя равенство (sin 20)2n+i = (2sin 8 cos 9)2n+1 и используя бета-функцию.
8. Указать, каким образом построить таблицу гамма-функции для значений аргумента х = 0, 0,1, 0,2, 0,3 и т. д., используя: 1) известные значения (0,1)1, (0,2)!, (0,5)!; 2) таблицы тригонометрических функции.
9. Из известных равенств
OO
S=O
я/2
В(т +1, /1 + 1) = 2 j sinVn Ocos*ftfl Є
получить
Я/2
9 ZrW
•/у (Z) ~
-/ 2 Iv (4Г ( Sin2vecos(2cos9)d0, Re(v)>--L
Здесь Jy (г)—функция Бесселя, !0.5. НЕПОЛНАЯ ГАММЛ-ФУПКЦИЯ
409
10.5. НЕПОЛНАЯ ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ
Обобщая определение Эйлера гамма-функции (10.5), введем неполную гамма-функцию (пределы интегрирования — переменные):
со
у (а, х)=т je-T"1 dt, Re (а) > 0 и Г (а, *)= j
0 х
(10.68)
Очевидно, j эти функции удовлетворяют paBeHCfBy
у(а, х) + Г(а, х) = Г(а). (10.69)
