Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
от круглого отверстия.
много других интегральных представлений функции Бесселя (см. ниже упр. 22). Одно из них рассмотрено в разд. 11.5 специально в связи с применением метода перевала для получения асимптотических представлений ' различных функций Бесселя.
Дифракция Фраунгофера (от круглого отверстия).
В теории дифракции встречается интеграл
а 2л
ф~ j ^ eibrsined6rdr, (11.31)
о о
где Ф — амплитуда дифрагированной волны; 9 — азимутальный угол в плоскости отверстия, а а — угол между I I.I. ФУНКЦИИ иксснля МИРНОГО РОДЛ
119
прямой, проходящей через точку на экране и центр отверстия, и нормалью к плоскости отверстия. Параметр b определен зависимостью
, 2я . о =-т- Sinal
(11.32)
где 1K — длина волны падающего пучка (рис. 11.2). Переходя от экспоненциальной к тригонометрической форме записи и воспользовавшись уравнением (11.30), мы получим
а
(11.33)
Ф~2я J J0 (br) г dr. о
Применение формулы (11.15) позволяет здесь немедленно произвести интегрирование
ф
2 nab
№ <я6> ~ 7ІЇЇГ J« (-Tisina) • (11-34)
Интенсивность света на дифракционной картине пропорциональна
Sh fffircflA) sin а] у 2^ И 35
^ sina J N '
Из табл. 11.1 следует, что эта функция имеет нуль в точке
sin a -3,8317 ... (11.36)
Таблица 11.1
Корпи функций Бесселя
jo (*) J1 (x) j2 (x) js m
2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706 5,1356 8,4172 11,6198 14,7960 17,9598 6,3802 9,7610 13,0152 16,2235 19,4094
Корни первых производных функций Бесселя
Jo W J'i W J't W
3,8317 7,0156 10,1735 • 1,8412 5,3314 8,5363 3,0542 6,7061 9,9695 4,2012 8,0152 11,3459
27* 420
>
ГЛАВА 11. ФУИКЦИИ БЕССЕЛЯ
или
Sina = 3,83Ш/2 па. (і 1.37)
Для зеленого цвета % = 5,5 -IO"5 см. Следовательно, если а = 0,5 CMi то
a^sin a =6,7-IO"5 рад&И". (11.38)
Отсюда видно, что отклонение или размытие светового луча весьма мало. Как известно, этот анализ был проведен в XVII в. и послужил главным доводом в пользу волновой теории света.
В середине двадцатого столетия была получена дифракционная картина при рассеянии частиц атомными ядрами, и тем самым были продемонстрированы волновые . свойства микрочастиц.
Колебания круглой мембраны. Амплитуда колебаний U круглой мембраны как функция координат г, 0 и времени t должна удовлетворять волновому уравнению
где V — (фазовая) скорость волны, определяемая коэффициентом упругости мембраны. Это дифференциальное уравнение в частных производных можно решить методом разделения переменных, предположив, что U — S (г, 0) T (/). Тогда
Т = е±ш, (11.40)
где ю —частота.
Пространственная часть 5 амплитуды должна описываться волновым уравнением, не зависящим от времени:
V2S-M2S = 0 (11.41)
с
k2 = wVv\ (11.42)
Величина k, называемая обычно волновым числом, связана с длиной волны X и частотой v следующим образом: .
k = 2nv/v = 2л!Х. (11.43)
Предполагая, что
S (г, Є) = Д (г) Є (O)1 (11.44) 11.1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА
421
произведем разделение переменных в полярных координатах (см. разд. 2.6 и 8.2):
+ + -LfIjfei = O (11 45)
R dr* ^ R dr Ь dB* U1-^0J
Положим
1 d2Q « /11 4C\
в-ж=-"1- (1Ь46)
Отсюда очевидно, что
@ — e±im9. (11.47)
Константа разделения выбрана отрицательной, поскольку при бесконечном росте 0 колебания мембраны не могут неограниченно возрастать; кроме того, потребуем, чтобы постоянная т была целым числом, так как смещение точек мембраны должно быть однозначной функцией 0. Уравнение для радиальной части сводится в этом случае к уравнению Бесселя
f г ~r + (k2r* - т2) R-- 0 (11.48)
с решением
R(r)^Jn(kr). (11.49)
С учетом полученных результатов полное решение уравнения (11.39) запишется в виде*
U (г, 0. t) = Jm (kr) (а^™* + a2e~im*) + (11.50)
Постоянные аи а2> bi и Ь2 определяются начальными условиями колебаний. С другой стороны, волновое число к входит в уравнение в качестве собственного значения и может принимать только определенные значения в соответствии с требованием
U (at 0, t) = 0, (11.51)
где а — радиус мембраны. Следовательно,
Jm (to) = 0 и ka = 2ш!Х (11.52)
есть корень Jm. Из уравнения (11.43) видно, что частота может принимать лишь определенные значения (квантована).
* Кроме функций Jm имеются еще и другие функции Бесселя, однако они все расходятся в точке г = 0 (см. разд. 11.2). Уравне-ие (11.6) в неявной форме содержит расходимость. 122
Г .4 A H Л ! I. ФУНКЦИИ ПГХОК.МЯ
Ортогональность. Рассмотрим дне функции Бссссля первого рода п-го порядка
и Jfl (ах), V --- J11 (bx), (11.53)
которые удовлетворяют уравнениям
/12
XU'+ и' -I- JC (fla - тг) И --= 0, (11.54а)
XV"+ V'+ X = (11.546)
где
и' = Jx ^n (ах) и т' д#
Уравнения (11.54) — самосопряженные, поэтому на основании теории Штурма — Лиувилля 1см. гл. 9 (X2 = а2, Ь2; W = jf)J можно ожидать, что функции и и v будут ортогональными и будут удовлетворять определенным граничным условиям. Следуя общей теории, изложенной в гл. 9, умножим уравнение (П.Г>4п) па Vt а (11.546) па и, проинтегрируем полученные результаты в пределах от 0 до 1, гі затем вычтем одно из другого
