Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ti=-CO
17. Изменяя верхний предел в интеграле из уравнения (11.56) от 1 до P, показать, что
P
icfi-b2) j Jn (ах) Jn (bx) xdx = P [bJn (аР) Jfn (bP)-aJ'n (аР) Jn (W)J1 О
где J'n(aP) = j~Jn(ax)\x=P. 426 Г Л А 13 Л II. ФУНКЦИИ ВHCCI'Ля
Сделав замену b--a-\-t (я 0), показать, что P
о
Эти интегралы обычно называют первым и вторым интегралами Лёммеля.
18. Частица (с массой т), когорая находится в круглом цилиндре радиусом R и высотой Я, описывается волновой функцией, удовлетворяющей волновому уравнению Шредингера:
/12
2m v^p' ф' = Ф'
где г|> = 0 на поверхности цилиндра. Найти минимальное значение энергии. Ответ.
Ь2 Г/ Zpq 42 і ПК Ч 2-І
Е=:&г[1т) "Kir) J'
где Zpq есть q-й корень Jp, индекс р определяется азимутальной зависимостью;
^r (^mV* , (JL)2I lMHH-2m Ll R I "1I Я ) J*
19. В анализе излучения антенны встречается интеграл g (а) =
(* 2 — \ f (г) Jo (иг) г dr. Показать, что ?(«) = — J2(u), ее.-1« /(/•)= 1 — г2.
о
20. Показать, что
Я/2
Jv(x) =---р— \ cos (х sin 9) cos2v9d0, v>—
(4)
Указание. Разложить в ряд и почленно проинтегрировать.
Привести интеграл (4) к различным интегральным представлениям функции Jv (х):
я
Jv (Х) =---J-_-(4 Yv \ cos (х COS 0) Sifi2v 8 dO;
я
1
j e±ixcos 0Sin2vOdO;
1
",/2 (*-4) 'v2M
і
n,2(v_±), V«/ J1
(тГ Je±ip*(1 -PV-tndP- І f.2.І ФУНКЦИИ ІІППМЛПЛ
427
21. Мсиоль.гуи питггр.гпы Jv (О ,Ju ( 2 ) j ' * '
Xei-^rfZ1Jv(Jf)-JLf rv-le(.T/2)(f-l/<)rf<i получить рекур-
Zm J
V 1
рентные формулы J'v(x) = -—Jv (JT)-Jv+! (*), J'v (х)=-у Jv-I (¦*) —
-Jv+l (¦*)•
22. Получить теорему сложения для функций Бесселя
OO
Jo (У«2 + 2я6 COS 0 + Ь2) = /о(а)-М&) + 2 ^ Jn (a) Jn (Ь) cos лЄ.
tl= і
1
23. Вычислить интеграл \ [Jn(Cix)]2 dx, где а —корень Jn, т. е.
Ъ
Jn (а) = 0.
(d \п ~x~dx J ^0 W'
25. Получить разложение плоской волны в ряд по цилиндрическим волнам (разложение Якоби—Ангерп).
ф
OO
giz cos9 __ 2 Wm (г) е1тв.
т——оо
11.2. ФУНКЦИИ НЕЙМАНА
Из теории дифференциальных уравнений следует, что уравнение Бесселя должно иметь два независимых решения. При нецелом V они были найдены с помощью бесконечного ряда (11.5). При целом же v выполняется условие (11.8), и мы получаем лишь одно независимое решение. Второе решение можно найти, привлекая методы, развитые в разд. 8.5, однако полученный вид отличается от стандартного.
Определение. Рассмотрим функцию Неймана как линейную комбинацию Jv (х) и J_v (*):
Nv(X)= «"vM'W-vM . (U.60)
v w Sin VJt v '
При V нецелом Nv (jf), очевидно, удовлетворяет уравнению Бесселя, поскольку эта функция — линейная комбинация известных решений Jv (Jf) И V (*). Однако при целом V, когда вступает в силу условие (11.8), уравнение (11.60) 428 г Ji AbA it. функцйи бесйеЛЯ
становится неопределенным. Способ задания функции Nx (а-) выбран специально с учетом этого обстоятельства. Оценивая Nn (х) по правилу Лониталя, получаем
N м — ^ Icos vnJv Ml =
" ^ ' (dfdx) sin VJi
—.rCsin ItuJn (a*) -f- fcos tin (dJv/dv—dJ_v ?v)]
IX cos tin
Представление рядом. Разложение в ряд* имеет крайне неудобную форму записи
V=Il
OO
Nn{x)^jn Win (i)--i (4ГгХ
г] (я+ г)!
г=0
X (г)- S= (я + г)] -I S ^^ (|)-+2г (11.62)
г= О
с логарифмической зависимостью, которую следовало ожидать заранее. Полученное выражение доказывает, конечно, независимость Jn и Nn. Здесь Jr (г) — дигамма-функция, которая появилась после дифференцирования факториалов в знаменателе Jv (х) [см. уравнение (10.39)1. Учитывая свойства дигамма-функции (см. разд. 10.2, упр. 2), преобразуем выражение (11.62) к более удобному виду
п
^w=-H-[in (4)+C-I Sr1V-W-
P=I
со г
_L V ( і ^ (*/2)n+2r V Г1 і 1I
Л Zj І г!(n-\-r)\ ZJ Lp ^r р+л J
г=O P=I
01.63)
г=О
При п = 0 имеем
A^o W = — (lnx + C—1п2)+ О (X2), (11.64)
А
Для этого применяется формула ^ хv =- In х. 11.2. функций нейМАИЛ
42O
а при v>0
= (11.65)
Чтобы убедиться, что функция Неймана Nv (х), иначе ее называют функцией Бесселя второго рода, действительно удовлетворяет уравнению Бесселя для целых /г, поступим следующим образом. Продифференцируем уравнение Бесселя для функций /±v (*) по v:
+ * і №) +(*2-^ = 2vJ±v. (11.66)
Умножая уравнение для J-v на (— l)v, вычитая затем его из уравнения для Jv [как это требуется для выражения (11.61)] и переходя, наконец, к пределу v /г, получаем
' x^Nn + x±Nn+(^)Nn =
= ^-Un7 (~l)nJ-n]. (11.67)
При целых V = /г правая часть равенства (11.67) в силу условия (11.8) равна нулю, и тогда функция Nn (х) — решение уравнения Бесселя. Следовательно, наиболее общее решение для любых V можно записать как
у (х) = А Jv (х) + BNv (х). (11.68)
Из (11.62) видно, что Nn имеет логарифмическую особенность. Поэтому любое граничное условие задачи, требующее ограниченности решения в начале координат (как, например, в случае колебания круглой мембраны), автоматически исключает Nn (дг), и наоборот, если такого требования нет, необходимо учитывать Nn (*). На рис. 11.3 показано поведение функций N0 (дг), N1 (дг) и N2 (*).
