Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
п п п
X' S а\ + 2х 2 atbi 4- 2 И - 0; (9.58)
і і і
так как х комплексное (или равно —Ь\1а{), то из квадратичной формулы для X* имеем
ш
(2 eA)'< (Sfli)(Sw). (9-59)
і=1 г=1 {=1
* Дискриминант комплексный (или равен нулю). 9.4.ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1 384
(Равенство выполняется при постоянном Ь-,1п,.) При перо ходе к векторам имеем
(a- b)2 = а262 cos2 Є <а262, (9.60)
где 0 —угол, образованный этими векторами. Неравенство Шварца для функций имеет вид
ь ь ь
[ j f (X)ff(*)d*]"< j IflWdx j [g(x)]*dx. (9.61)
a a
Здесь знак равенства возможен только тогда, когда g = af(x), где а —постоянная. Неравенство Шварца (9.61) можно получить из уравнения
jW(x)+g(x)]'dx = 0 (9.62)
так же, как из соотношения (9.57) неравенство для /!-компонентного вектора.
Если g (х) — нормированная собственная функция, то из неравенства (9.61) получим
ь
< j If(X)I2Cixi (9.63)
а
результат, который следует из (9.56), здесь w(x)= 1.
Дельта-функция Дирака. Система ортонормированных собственных функций фп (х) обеспечивает еще одно интересное представление 6-функции Дирака. Рассмотрим сумму
со
К (X1 t) = K (t, X) = S фп (X) ф„ (0. (9.64)
п=0
(Для удобства будем полагать, что фп (*) переопределена таким образом, что включает в себя множитель Iw (х)]1/2, если до (х) =^l.) Записанный ряд (9.64) в^общем случае не является равномерно сходящимся, однако его можно использовать в подынтегральном выражении, которое после интегрирования будет сходящимся (см. разд. 5.5). Запишем интеграл
j F (t) К (xt t) dt 384
Г JI А В Л 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
и предположим, что F (t) можно разложить в ряд по собственным функциям фл(0'
OO OO
[ F (/) К (*, t) dt = J 2 OpVp W 2 <М*)<МО<И =
P=O Tt = O
OO
= 2 flWPpM=^M- (9.65)
P=O
Скалярные произведения фр<рп (я^ /О в силу условия ортогональности (9.25) обращаются в нуль. Вспоминая определение б-функции Дирака (см. разд. 1.15 и 8.6), мы видим, что уравнение (9.65) означает, что
К (х, t) = б (je — 0. (9.66)
Полагая F (t) = q>0, где <р0 — некоторая постоянная, можно легко показать, что
^ К (х, t) dt ^ U (9.67)
Поведение функции К (X, t) в точке X — t исследуем с помощью неравенства Бесселя. По определению,
OO
К (/, t) = 2 (Фн(/)]2. (9.68)
п = 0
Воспользовавшись неравенством (9.56), получим
OO со
j IKit1 t)]*dt> 2 (А = 2 1 = 00 <9-69)
71 = 0 Tl = O
Следовательно, как и ожидалось, K{x, t) расходится в точке X — і.
Функция Грина. Разлагая функцию Грина по собственным функциям соответствующего однородного уравнения, получаем ряд, подобный в некотором смысле тому, который представляет К (х, t). Запишем неоднородное уравнение Гельмгольца
? 2^ (г)+ #400= -р (г). (9.70) 9.4.ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1
385
Запишем также однородное уравнение Гельмгольца, решениями которого являются собственные функции фп,
*2фп(г) + 6пфа(г) = 0. (9.71)
Как показано в разд. 8.6, функция Грина G(rj, г2) удовлетворяет уравнению с точечным источником
V2G(r4, r2)-H2G(r„ г2) — —б(Гі —г2). (9.72)
Разложим функцию Грина в ряд по собственным функциям однородного уравнения (9.71)
OO
o (rlf га) = 2Мг2)фд(Гі), (9.73)
п—О
подставляя это разложение в уравнение (9.72), получаем
OO 00
- 2Мг2)йфп(г,Н-&2 2 вп(Гї)фп(Гі) =
ti==o п-0
оо
= -2 фп(гі)фп(г2). (9.74)
n=О
Здесь использовано разложение б (rt — г2) по собственным функциям 1см. уравнения (9.64) и (9.66)]. Чтобы выделить коэффициент ап, воспользуемся ортогональностью функций фп (гі), а затем подставим полученное выражение для ап в уравнение (9.73), после чего функция Грина приобретет вид билинейного разложения, симметричного относительно Гі и г2,
¦ о (Г,.го =S filF^- (9.75)
п П
Наконец, искомое решение г|>(Гі) неоднородного уравнения получается по формуле
*(ri)=Jo(ri,r2)p(r2)dr2. (9.76)
Если записать неоднородное дифференциальное уравнение в общем виде
+ (9.77)
26-1257 386
ГЛАВА ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛЙУЙИЛЛЯ
где X — эрмитов оператор, то
OO
G(r„r2)= 2 fcSlrj- (9-78)
п = 0
Здесь Xn — собственное значение, а <рп — соответствующая ортонормированная собственная функция однородного дифференциального уравнения
+ Хф = 0. (9.79)
Более подробно функция Грина будет рассмотрена в разд. 16.5.
Упражнения
1. Вместо представления функции F (х) в виде бесконечного ряда
оо Ь
F (jc) = 2 °пфп (х) с ап = J P (х) Фп (*) w (х) dx воспользоваться
n=0 а
рядом с конечным числом членов
т
F(X) ъ 2 Спфд W-п=0
Показать, что среднеквадратичная ошибка
ь т
j и №dx
а п—О
минимальна, если сп==ап.
2. Получить неравенство Шварца из тождества
6 ь ь
[ J / W Є (х) dXy= j [f (ж)]» dx j [g (*)]» dx-
u а а
Ь Ъ
И[/ {х)ё {у)" Пу) 8 {х)]2>dxdy'
а а
3. Подставив разложение функции Грина (9.75) по собственным функциям в соотношение (9.76), показать, что этим соотношением действительно определено решение неоднородного уравнения Гельм-гольца (9.70).
4. Определенная уравнениями (9.64) и (9.66) 6-функция Дирака имеет вид
