Расчет высокоточных шарикоподшипников - Ковалев М.П.
Скачать (прямая ссылка):
Подставим выражения (1.40) в равенства (1.39) и Просуммируем правые и левые части последних. В результате имеем;
2 (Zi + Z2) = (P11 cos2 CO1 -f- pI2 sin2 Co1 + p81 cos^ со2 +
+ р22 sin2co2) х2 — [(P11 — р12) sin 2(O1+ (P21^-р22) sin2со2] ху +
+ (рп sin2 (O1 + р12 cos2 (U1 + р21 sin2 O2 + p22 cos2 ш2) у2. (1.41)
Выберем положение осей х, у таким образом, чтобы в равенстве (1.41) исчезло слагаемое, содержащее произведение координат ху, т. е. примем
(Pu — Ria) sin 2coj + (р21 — р2а) sin 2co2 = 0. (1.42)
Заменив в равенстве (1.42) со2 = Co1 — со или CO1 = со2 + со, после преобразований получим
cos22co =_' [(Pu — Pi2) + (раї — Р22) cos 2ц]2_.
1 (PlI — P12)2 + 2 (PlI — Pl2) (P2I — Pa2) COS 2u) + (p21 — p22)2 '
C0S22u) =__[(P21 — Pas) + (Pu — P12) CQS 2co]2_ .j ^3,
2 (Pu — P12)2+ 2 (Pu-P12) (P21 — P22) cos 2co H -(p21 — P22)2 <¦ ' '
После этого равенство (1.41) перепишем в следующем виде:
Z1 + Z2 = Ax2 + By2, (1.44)
где
2А = P11 cos2 CO1 + р\2 sin2 Co1 + P2I cos2 со2 + р22 sin2 со2;
2В = P11 sin2 CO1 + р12 cos2 CO1 + р21 sin2 со2 + р22 cos2 со2. (1.45)
При этом А и В величины положительные.
Приняв в равенстве (1-44) Z1 + Z2 = const = С, получим уравнение проекции на общую касательную плоскость геометрического места точек соприкасающихся поверхностей, находящихся на расстоянии С одна от другой
Ax2+ By2 = С. (1.46)
Равенство (1.46) представляет собой уравнение системы подобных и подобно расположенных эллипсов, центры которых лежат в начале координат.
Складывая и вычитая почленно выражения (1.45), найдем
2 (А + В) = (P11 + р12) + (р21 + р22);
2 (А — В) = (P11 — р12) cos 2Co1 -4- (р21 — P22) cos 2со2. (1.47) Введя в равенство (1.47) выражения (1.43), получим
А = 4" [(Pu + Pi2) + (P2I + Ргг) + -T-V(Pu-Pi2)2 + 2 (P11-P12) (Pn — р22) cos 2со + (р21— р22)2; В = ~Г [(Pn + Pia) + (Pm + Р22) —
— K(Pn — Р12)2 + 2 (Pu — Pi2) (ри — Раг) cos 2со + (р21 — рг2)2. (1.48)^
18
Если предположить, что ось X всегда располагается по большой полуоси эллипса, то А < В [см. уравнение (1.46)]. Таким образом, при. вычислениях по формулам (1.48) параметром А следует называть меньшую из полученных величин.
1.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ПЛОЩАДКИ КОНТАКТА, СБЛИЖЕНИЯ И НАИБОЛЬШЕГО ДАВЛЕНИЯ СОПРИКАСАЮЩИХСЯ ТЕЛ
Пусть два тела с криволинейными поверхностями до деформации касаются друг друга в одной точке. Приложим к этим телам две равные и противоположно направленные прижимающие силы на достаточно большом расстоянии от начальной точки касания. Линии действия прижимающих сил будем считать совпадающими с прямой, соединяющей центры кривизн поверхностей в точке касания. Благодаря деформации тел первоначальное точечное касание их переходит в касание по некоторой площадке. Задача состоит в том, чтобы, зная главные радиусы кривизн соприкасающихся тел в начальной точке касания и упругие постоянные материалов соприкасающихся тел, определить размеры площадки контакта, распределение давления на этой площадке и сближение тел.
Отметим, что контактные деформации ограничиваются практически весьма небольшой, по сравнению с общим объемом соприкасающихся тел, областью вблизи точки начального касания. В результате деформации этого малого объема тела сближаются. Каждое тело перемещается к другому вдоль осей Z1 и Z2 как жесткое целое, так как в недеформированной части тело предполагается абсолютно твердым.
Таким образом, можно считать, что точки каждого из рассматриваемых тел, лежащие вне области контакта, совершают только одинаковые перемещения б (здесь и в дальнейшем исключаем из рассмотрения точки приложения прижимающих сил и примыкающие к ним небольшие зоны). В области контакта точки получают также перемещения б вместе со всем телом и, кроме того, упругие перемещения W1 и W2, различные в разных точках области контакта.
Замечая, что при деформации рассматриваемых тел соприкасаются те точки, для которых сумма первоначальных расстояний Z1 + Z2 равна разности сближения б и упругих перемещений W1 + + W2, приходим к зависимости
Z1 + Z2 = б - (W1 +. w2). , (1.49)
Точки, для которых Z1 -f Z2 > б — (W1 + W2) не попадают в зону контакта.
Раньше было указано, что семейство кривых равных расстояний Z1 -f z2 = const представляет собой семейство подобных и подобно расположенных эллипсов Ax2 + By2 = const; из этого вытекает, что контур площадки контакта представляет собой эллипс, полуоси которого по направлению совпадают с полуосями эллипса, имеющего уравнение (1.44).
2'
19
Если принимать в расчет действительную геометрическую форму соприкасающихся тел, то вычислить упругие перемещения в области контакта обоих тел очень затруднительно. Учитывая, что размеры площадки контакта малы по сравнению с общими размерами соприкасающихся 'тел, Г. Герц [281 предложил заменять эти тела двумя упругими полупространствами, нагруженными давлением, распределенным по эллиптической площадке контакта.
Тогда, пользуясь формулой Буссинеску, получим перемещения w точек плоской поверхности от действия сосредоточенной силы
W= k —, г
где k — коэффициент, равный k = 1 — u7(2rcG); г — расстояние от точки приложения сосредоточенной силы до точки, в которой имеет место перемещение W.
