Расчет высокоточных шарикоподшипников - Ковалев М.П.
Скачать (прямая ссылка):
Записав основной закон динамики в проекциях на неподвижную систему координат, получим для элемента шарика с углом гр = 0
dFx, =xdm; (1.9)
dFy. = 'ydm; (1.10)
dFz. = 'zdm; (1.11)
11
dMz- = {— i'[[/cos?sin?' + r (cos a sin Ф — sin ? sin ?'cos Ф)] -)-+ i/[t/cos?cos?' —r(sin?'sinO-r-sin?cos?'cosO)]} dm; (1.12) dMy'={ X [U sin ? + r cos ? cos Ф] — z[U cos ? cos ?' —
— г (sin ?'sin Ф +sin ? cos ?'cos Ф)]} dm. (1.13)
Суммарный момент относительно оси х при равномерном вращении шарика относительно этой оси должен быть равен нулю.
В каждом положении шарика, определяемом углами яр и ?,
угловая скорость aR = -^- при вращении вокруг собственной
оси шарика и орбитальная угловая скорость соот = -^- при вращении вокруг оси подшипника являются величинами постоянными, поэтому при яр = 0 будем иметь
'X=^jL = т\ (sin ?' sin Ф + sin ? cos ?' cos Ф); (1.14)
У — — 2со^штг cos ? sin Ф + -f (л2т [— U cos ? sin ?' + r (— cos a sin Ф + sin ? cos Ф sin ?')] +
+ (?>2Rr[— cos ?'Co^ Ф +sin ? sin ?'sin Ф]; (1.15)
2'= -^f- = — 2oiR(omr (cos ?' cos Ф + sin ? sin ?' sin Ф) —
— «4 (4r + U sin ? + rcos?coso) — (u\r cos ? cos Ф. (1.16)
Полученные выражения для вторых производных подставим в равенства (1.9)—(1.13) и проинтегрируем их в заданных пределах. В результате получим -
'«('Зг"2)1"*. F„. = —р J J \'xrdrdUdO; (1.17)
-rR О О
I 2 „2Ч1/2 rR [rR-U ) 2я
Fy, = —р jf{ yrdrdUdO; (1.18)
-гд о о
(2 2\^/2 ) 2я
/V= _р J J J z'rdrdUdO; (1.19)
-'я 0 0
12
(А и^'2
Mj, = — р {{J {— i'[t/cos?sin?' +
-rR О О
' s + r(cos?'sin0 — sin ? sin ?'COS Ф)] + ' + cos?cos?' —r(sln?'sin<D + sin?cos?'cosO))]} rdrdudO; (1.20)
My- = — p\ \ J {Jc[?/sin? + rcos?cos01—
-rR 0 0
— z [Ucos ?cos ?' — r (sin ?' sin Ф + sin ?cos ?' cos Ф)].} rdrdUd®, (1.21)
где p — плотность материала шарика; rR — радиус шарика. ' Выполнив интегрирование, найдем, что Fx- = Fy- = 0 и
My- = /(o?(omsin?; (1-23).
Лїг-= —/(oAwmcos?sin?', (1.24}
где m — масса шарика; J — момент инерции шарика относительно центральной оси.
m = -jLpnD^; J=;-^pnD5w. (1-25)
Орбитальная угловая скорость шарика
«U =
™}т /J 26)
30 ' v ;
где пт — частота вращения сепаратора, об/мин.
Заменив в равенстве (1.22) сот ее выражением из равенства (1.26), получим 6
Схема нагружения шарика с учетом центробежной силы F представлена на рис. 1.3. Условия равновесия шарика в проекциях на оси координат имеют вид
fBsinaB— fHsinaH=0; (1-28)
F в cos ав — FH cos ан + F = 0,
где Fв и Fn — нормальные реакции в зонах контакта шарика соответственно с желобами внутреннего и наружного колец. Касательные силы в указанных зонах в данном случае не учитываем. Если на подшипник действует чисто осевая нагрузка Fa, то
FB = 7 Fa ; Fn=, _ Fa . (1.29)
в Z sin ав ' н Z sin ан v '
13
Рис. 1.3. Шарик под 'действием осевой нагрузки и центробежной силы
Подставив значения FB и FK в равенства (1.28), найдем, что первое из них обращается в тождество вида 0 = 0, а второе 'принимает виД|
ctgaH — ctga„ = -p-. (1.30)
Выражение (1.30) показывает, что под действием центробежной силы F линия давления между шариком и желобами колец претерпевает излом, при этом угол контакта шарика с желобом внутреннего кольца становится больше угла контакта шарика с желобом наружного кольца (ав > ан).
1.3. КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Предложенная Герцем теория контактных деформаций была разработана применительно к двум случаям: к случаю первоначального (до деформации) точечного касания деталей и к случаю первоначального линейного касания [28]. Для высокоточных шариковых радиальных и радиально-упорных подшипников ограничимся рассмотрением первой контактной з~адачи, когда первоначальное касание является точечным.
В основе теории Герца лежат следующие предположения:
1) материалы соприкасающихся тел однородны и изотропны;
2) нагрузки, приложенные к соприкасающимся телам, направлены по прямой, соединяющей центры кривизны поверхностей тел в точке первоначального касания, и предполагаются такими, что в зоне контакта имеют место только упругие деформации;
3) поверхность контакта весьма мала по сравнению с общей поверхностью каждого из соприкасающихся тел;
4) поверхности соприкасающихся тел совершенно гладкие, следовательно, силы давления, передаваемые от одного тела к другому, нормальны к поверхности давления.
Для шарикоподшипников первое и второе предположения оправдываются почти полностью, а третье и особенно четвертое предположения нельзя считать полностью оправданными.
Формулы Герца проверялись экспериментально различными исследователями, среди которых нужно отметить Р. Штрибека [42*], А. Н. Динника 15], С. В. Пинегина [18, 19] и др. Изучение экспериментального материала показывает, что при малых нагрузках остаточные деформации пренебрежимо малы и измеренные значения деформаций полностью совпадают с вычисленными. При больших нагрузках и наличии остаточных деформаций полное измеренное сближение, например, больше, а упругое (полное минус остаточное)— меньше вычисленного. Для подшипников общего применения счи-14
