B-CDMA: синтез и анализ систем фиксированной радиосвязи - Архипкин В.Я.
ISBN 5-88405-038-0
Скачать (прямая ссылка):
становится ясно, по какой причине и что сокращается. Этот простой прием все время используется в дальнейшем без особых комментариев.
Поучительно выяснить, почему на первый взгляд относительно простая комбинаторная задача оказывается на деле сложной теоретической проблемой. Если коротко - то в неизометричности цифровых ансамблей, которая уже проявилась, но не была ранее осознана в дискретно-аналоговых ансамблях и пропадает только в точно аналоговых ансамблях, непрерывных и существующих на всем интервале времени t = (-00, +оо) и содержащих бесконечное число реализаций с метрической емкостью континиума и более того. Иначе говоря, цифровой ансамбль оказывается не просто нестационарным во времени или по чипам, но неизотропным по реализациям ансамбля. На самом деле ситуация еще серьезнее, так как добавление чипа в ПСП или сигнала в пачку CDMA, добавление помехи или любого схемного ухищрения (слово добавление можно поменять на уменьшение), вообще любое изменение внешних условий или параметров системы обработки приводит к изменению, и сильному, структуры ансамбля. Ансамбль непрерывно «дышит», меняя вероятностный массив как при вхождении сигнала, тем более пачки CDMA, в коррелятор или СФ, так и сжатии в случае полного заполнения СФ, а также на выходе коррелятора, что условно показано на рис. 2.7. Следовательно, как от к-то чипа (эквивалент текущего времени), так и от N -го сигнала (эквивалент некоей системной координаты) ансамбли полностью меняются.
NN ДГІ (к 4V к
1=ipl+p2+...+ptr=I-I-f-7 Пе L 2>*=
Л| =O л,=0»Г'Л*Л«=1 / 1»=1
(2.29)
домножить на ничего не меняющую единицу
после чего сразу ,А 2 СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ B-CDMA ТИПА «СТС-ИСТОК 3/5.0» 55
Рис. 2.7. Типовые реализации пачки сигналов CDMA в зависимости от дискретного времени (шагов K= 1,2,... - безразмерных)
Очень скоро нам понадобятся матрицы авто- и взаимно-корреляционных функций, с помощью которых можно пояснить высказанные положения. Пусть база сигналов равна Б , а ансамбль содержит N > Б реализаций. Среднее значение чипов отлично от нуля, поэтому центрируем чипы на величину среднего, тогда (хк) = 0. Без ограничения общности сначала рассчитаем АКФ для всех реализаций x = (xl,x2,...,xN), число которых равно N и которые расположены по главной диагонали в общем матрично-корреляционном массиве К. Последний состоит из N2 подматриц, из которых N2-N являются ВКФ и конструируются обычным образом из пар (X1,у:) при обязательном условии і Ф j, так как у = (У1,у2>—Уы) есть те же самые реализации того же самого ансамбля. При этом, как обычно, размерности любой из N2 подматриц АКФ или ВКФ одинаковы и равны Б2. Вводя в рассмотрение двумерные плотности вероятностей P(XnXj) при вычислении АКФ по одной реализации Xi и сдвинутой ее копии Xj (в корреляционном массиве i = j = 1,2,..., N) и двумерные совместные плотности Р(х:, у j) (і Ф у, что дает в массиве все ВКФ), имеем:
оо оо оо
Р(х, ,Xj)> О, Р(х,) = J Р(Х, ,X^dXj, JJ Р(Х,, Xj )dx,dxJ = 1,
—00 —00 —00
Р(х,/Xj) = P(XnXj)IP(Xj), )p(xf /xj)dx, = 1;
і P(Xj)
(2.30)
00 00 00 р(х,,у^>0, P(Xi)= JP(xi,yj)dyj, J \Р(х„у^dyj=X,
—00 —00 —00
Р(х, Iyj) = Р(х„у,)1Р(у,), JP(XiIyj)Chi = = 1.
-00 V/;/
(2.31) QO
ГЛАВА 2
Предположение о центрировании случайных величин сделано лишь для упрощения записи формул (поскольку тогда средние равны нулю), и для дисперсий, АКФ и ВКФ получаем, переходя от непрерывных плотностей вероятностей к дискретным, выражения:
X OO OO X
АКФ(/,У)= J JXiXjP(XnXj)ClXiClXj= JXiP(Xi)CiXi JXjP(XjIXi)Chp
—00 —00 —00 —X
00 00 QO
а2 = АКФ(/ = J) = IxiP(Xl)Chi JxjS^ -= \x2P(xt)dx- (2.32)
АКФЦ = X YdXlXjP(XnXj), erf ^fdXlP(X1),
(2.33)
R К 1 К
Р(х,) = — = Б-\ P(XlIXj) = ^1 = -, P(Xi,Xj) = -- = (NEr ^P(U) = 1.
В формулах (2.33) дискретные вероятности написаны в предположении равновероятности соответствующих массивов случайных величин, равных числу точек в квадратах со стороной Б, «нанизанных» на биссектрису в плоскости с координатами SN (на рис. 2.8 заштрихованы). Аналогично поступаем и для ВКФ: ;
1JJ UU WJ OW
ВКФ(у) = J \xiyJP(xlyJ)dxldyj = JX1P(Xi)Chi JVjPiy1Ixtffyp
—00 —00 -QO —оО
QO
a2=BKU>(i = j)*a2, (jV,)= \yJP(y])dyj=^
ВКФ(у) = ZfjXiyjP(Uj), Р(У]) = P(j)~ = Б-\
i=l >1 -D
г2 EM(N-I)
P(xiIyf) = -,---, P(Uj) = [EN(N-I)Y1, У TP(Uj) = I
' J E2(N(N-I))N(N-I) 4 J 1 J
(2.34)
г,
(2.35)
Полученные формулы (2.33) и (2.35) зависят от Б и N, что естественно для дискретного пространства, но эта естественность полностью отсутствует в непрерывных пространствах и формулах (2.32) и (2.34), хотя в целом исходные пространства подразумевались равновероятными. И это, как указывалось выше, связано именно с бесконечностью ансамбля непрерывного пространства и по номерам реализаций, и во времени, что подчеркивается тщательным выписыванием бесконечных пределов интегрирования в выражениях (2.32) и (2.34) и сразу приводит к двум практически важным выводам: либо случайные процессы с ограниченным спектром имеют бесконечно длинные реализации, либо, если интерес представляет конечный интервал времени, процесс обязан быть «белообразным» по спектру. СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ B-CDMA ТИПА «СТС-ИСТОК 3/5.0»
