B-CDMA: синтез и анализ систем фиксированной радиосвязи - Архипкин В.Я.
ISBN 5-88405-038-0
Скачать (прямая ссылка):
N \
Ун-Х =IdXn = С„Р*5(у -N) + C1nP1n^ Р2д(у -(N-1)) +...
И=1 J
+Cf РхР™Цу + (N-1)) + CW Цу + N), C0n^Cnn= 1, (P1 +P2)"= YdCtllPt1^PZ = 1" = 1-
л=0
Последняя формула для yN, доказанная по индукции, легко подтверждает справедливость условия нормировки, убедиться в котором иначе, особенно в более слож-
(2.19) f
СИНТЕЗ і
ных случаях, практически невозможно. Доказательство из-за громоздкости опускается, но смысловая прозрачность результата легко выявляется из рассмотрения последовательности дискретных сумм:
+ J1' ^ J1' Р>
2, P12, О 2 PxP2,
-2, P2
(2.20)
N-1
r,N-1
[ЛГ-1, 1
I-(JV-I), РГ ' 1-1, P
+ ¦
N, Рх\
п rN/2pN/2pN/2
-N, P2".
Полученные формулы позволяют получить ответы на многие практически важные вопросы. Например, при четном числе слагаемых вероятность нулевого значения суммы наибольшая и с учетом формулы Стерлинга равна:
P(O) = Cn12Pxn12P2'2 =
°'8-2N-(PAf/2;
W- pN/2 pN/2 _ (NJe)" _
I2-M 2 ~ г- .... _-I2V-rI-f^/ —
[(А^/2)!]
[{N/(2e))N'2jM~
-Jn
(2.21)
P0 = Р(0; P1 =P2 =1/2) = 0,8/У/N , (PxP2 f'2 = 2'ы . (2.22)
Последняя формула написана для случая равновероятных слагаемых х = ±1, а в габл. 2.1 приведены дополнительные полезные результаты.
Таблица 2.1. Число сочетаний и вероятности P0 в зависимости от N
n 10 100 128 1000
259,1 8-Ю28 2,5-IO37 2,6-IO398
P0 =o,sf-Jn 0,253 0,08 0,071 0,0259
P2= 0.
При нечетном числе слагаемых наиболее вероятны наименьшие значения +1 и -1 нуля никогда не будет) с одинаковыми вероятностями при Px=P2= 1/2:
N~l N+l N+1 N+1 N-\_
Р(+\) = С/ PxI >С/ Px' P2' =Р(~ 1),
Р(+1)« Р(-1) < Cj ¦ 2-» = 2-' P(O), N4ei = Aflie4er +1,
(2.23)
-.е. вероятность при нечетном числе слагаемых Nxc4er лишь вполовину меньше P(O) ближайшего четного (N4eT, большего на единицу), что позволит при больших СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ U-ьимА і иі їм «и > v--.iv-. и» -w.«»
ска-по-
базах сигналов впоследствии ограничиться оценками табл.2.1 и формулой (2.21). Элементарно подсчитывается вероятность накопления сигнала при сжатии сигнала в СФ, с которым он согласован, так как с использованием (2.16) имеем P1 = I, p2 = 0. Поэтому из (2.20) с вероятностью Iw =1 находим сумму, равную базе сигнала б.
Развитый здесь подход позволяет легко проанализировать параметры «аддитивно-составных» сигналов с базами б = e1+ e2 в силу элементарности проверки условия нормировки, обычно (и чаще всего) трудно проверяемого, поскольку
1 = 1 б=(р1 + P2)*' (p1 + p2Y1 = ?с- p*-pp-kp*,
(2.24)
С
к _ /-Iі , /-ІІ-1/-ІІ . /~ік-\ . r-ikl2f-tkl2 f-,kl2f-tkl2
— Cr +tc_ +U Lc. +... + Lr Ok. +U U
(2.25)
Б]+В2 v^I ' ^B2 ' v^i ^B2 ' v^fi2 і ... і V^Ji ^E2 1 y^B2 ^B,
если воспользоваться равенством (2.25), которое при ? = 1-4 доказано прямым сравнением левой и правой частей, а затем - по индукции. Если не учитывать резко возрастающих вычислительных трудностей, то столь же автоматически проверяется условие нормировки для «мультипликативно-составных», т.е. модулированных, ПСП с базами б = e1e2 или б = e2e1 при любом их соотношении:
( B2 \Б<
I=^p1+P2Y^ =
б2\
ч: =
б2\
(E2-«,)!«,!
пҐо(Б2-п)\п\
рБг~"і рпі Г\ 2 •
рБг-п рп Г\ 2
S1!
„,=о %1=0 «,!«2 !
ІЇЧі-Яг'
"В,
(2.26)
При p1=p2 =1/2
к=I
E1I
B2
к=\
A
»I "к=Бх-
к=1
(2.27)
Расчеты показывают, что левая часть неравенства Q растет стремительно быстрее правой (на несколько порядков) при E2 > E1. Например, при модуляции ПСП] с базой E1 = 10 «высокочастотным» ПСП2 с E2 = 100 левая часть (2.27) будет порядка десять в степени 1500, тогда как правая - в степени 350 (цифры астрономические, но вовсе не самые большие). Расчеты следует считать прикид очными, так как предполагалось, что все Hj =0,1,2, т.е. близки друг другу. В этом случае произведение их факториалов минимально, а сумма всегда должна быть равна S1 (2.27). Поиск наихудших или наилучших в том или ином смысле вариантов не производился. Аналитически просто разобрать случай и с разными вероятностями:
1 = -is' =(p1+p2t(4l +q2t =yclipf*-"p2nyck^q2* ,
п=1 к= 1
^+P2=I, q1+q2=\.
(2.28) ГЛАВА 1
Развитый здесь аппарат позволяет формально легко рассчитать также вероятности различных комбинаций многофазных или ?-уровневых сигналов, так как
и рассмотреть обобщения на многофазные аддитивно- и мультипликативно-составные сигналы. Но делать этого мы не будем, поскольку такие сигналы сегодня практически не используются.
Несмотря на аналитическую простоту и наглядность, вычислительная сторона дела оставляет желать лучшего в силу как раз «неаналитичности» факториала или гамма-функций из-за очень быстрого роста и разрывности, а также из-за немультипликативности, так как [«¦?]!»«!•?!, п> 1, к> 1; \п/к]\*пУ к\. В силу новизны рассматриваемых проблем единственно надежный, хотя и медленный, путь доказательств - в последовательном анализе «в лоб» размерностей задач с к = 1-4 и последующим доказательством по индукции для любого к > 4. При этом весьма полезно совокупность неполных полиномов со старшей суммарной степенью к не упрощать немедленно, как это рекомендуется в стандартных руководствах, а, напротив,
