Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Разложим последовательность S из пункта (ii) в произведение коротких точных последовательностей
17*
260
Гл. VII. Размерность
Et: Ci+l>* Xi-» Ct. Каждая из последовательностей определяет стандартную длинную точную последовательность
.Е*
Exth (Xi, В) Ext* (Сг+1, В) -Л Ext*+1(Сг, В) Exth+1 (Хг, В)
из .III (9.1). Поскольку модули Хг проективны, внешние члены Extft (Хг, В) равны нулю, если k>0, так что связывающий гомоморфизм Е* является изоморфизмом. Итерированный связывающий гомоморфизм S* равен произведению ?*...?« -i и, значит, является изоморфизмом
S*: Ext1 (Сп, В) о* Extn+1 (С, В).
Если теперь Ext”+1 (С,В) = 0 по условию (i), то этот изоморфизм показывает, что Ext1 (Сп, В) = 0 для всех В, и, значит, модуль Сп проективен, что дает (и). Поскольку С имеет хотя бы одну проективную резольвенту, из (ii) следует (iii). Если же имеется резольвента вида (iii), то группа Extn+1 (С,В), вычисленная с ее помощью, равна нулю, откуда вытекает (i).
Гомологическая размерность R-модуля С определяется так: h. dimHC<«, если выполнено одно из эквивалентных условий теоремы 1.1. Другими словами, h. dimH С = я означает, что все группы Ext”+1 (С, В) = 0, но Ext” (С, В) Ф 0 по крайней мере для одного модуля В.
Следствие 1.2. Если h. dimH С = п, то для всех модулей н В и Gr
Extn+h (С, В) =0, Torn+ft (G, С) = 0, k > О,
в то время как для каждого т^п существует такой левый модуль Вт, что
Extm (С, Вт)ф 0.
Доказательство. Первый результат следует из (iii). Если Ext” (С,В) Ф 0 для п > 0, то мы построим короткую точную последовательность В >-» J -*> В' с инъективным модулем J. Соответствующая точная последовательность
Ext”"1 (С, В') -> Ext™ (С, В) Ext™ (С, J) = О
показывает, что Ext”-1 (С,В') ф 0.
Аналогично h. dim С = оо означает, что для каждого положительного п существует такой модуль Вп, что Ext” (С,Вп) Ф 0. Гомологическая1, размерность модуля С может быть вычислена из произвольной проективной резольвенты 0 С Х0 Xi . . как первое п, для которого модуль Im (Хп ->- Хп_!) проективен (для п = 0 под Х-i понимается С), или как оо, если ни один из этих образов не является проективным.
§ 1. Гомологическая размерность
261
Например, выкладки из VI.6 показывают, что тривиальный модуль Z над групповым кольцом Z (П) свободной абелевой группы П с п образующими имеет гомологическую размерность п.
Левая глобальная размерность кольца R определяется как
1. gl. dim R = sup (h. dim C),
где верхняя грань берется по всем левым /^-модулям С. Например, 1. gl. dim Z = 1. Над полем F каждый модуль является векторным пространством, т. е. свободен, так что 1. gl. dim F — 0. Вообще имеет место
Предложение 1.3. Каждое из следующих условий экви валентно условию 1. gl. dim R = 0:
(i) каждый левый R-модуль проективен-,
(ii) каждая короткая тонная последовательность А В -» С левых R-модулей расщепляется-,
(iii) каждый левый R-модуль инъективен;
(iv) каждый левый идеал в R инъективен как левый R-модуль;
(v) каждый левый идеал в R есть прямое слагаемое R как левого R-модуля.
Доказательство. Условие (i) — это определение 1. gl. dim R — 0. Если выполнено условие (i), то в каждой короткой точной последовательности (ii) модуль С проективен; следовательно, она расщепляется. Поскольку любая такая последовательность, начинающаяся с модуля А, расщепляется, каждый модуль А инъективен по предложению II 1.7.1. Следовательно,
(i) =Ф (ii) =ф (iii), а обратное рассуждение показывает, что (iii) =ф =Ф (ii) (i). Очевидно, что (iii) =» (iv)=^ (v). Если выполнено (v) и если L—левый идеал, то короткая точная последовательность L >-» R -» R/L расщепляется, и отображение Нот (R, А) -> Нот (L, А) является эпиморфизмом для каждого модуля А. По предложению III. 7.2. модуль А инъективен. Значит, (v) => (iii), и, следовательно, доказательство закончено.
Теорема 1.4. Для каждого кольца R и каждого п> 0 следующие условия эквивалентны:
(ij 1. lg. dim RKn;
(ii) каждый левый R-модуль имеет гомологическую размерность < п;
(iii) Extn+1 = 0 как функтор левых R-модулей;
(iv) Extft = 0 для всех k > п;
(v) в любой точной последовательности
S: 0 —» А —» У0 —>--------> Ап 0,
в которой все промежуточные модули Yk инъективны, модуль Ап инъективен.
262
Гл. VII. Размерность
Доказательство. Первые четыре условия эквивалентны в силу теоремы 1.1. Последовательность S из (v) определяет связывающий гомоморфизм, который является изоморфизмом S*: Ext1 (С,Л„) a* Extn+1 {С,А) для каждого модуля С. Но равенство Ext1 (С,Ап) = 0 для всех С в точности означает, что модуль Ап инъективен; отсюда вытекает эквивалентность условий (iii) и (v).
Следствие 1.5. (Ауслендер [1955].) Для любого кольца R l.gl.dimft=sup{h.dimft/L|Z,— левый идеале R}.
Доказательство. (Матлис [1959].) Если эта верхняя грань бесконечна, то 1. gl. dim R — оо. Поэтому предположим, что она равна п < с», так что Extn+1 (ft/L, А) = 0 для всех левых идеалов L и всех левых ft-модулей А. Для каждой последовательности S вида, указанного в (v), St : Ext1 (R/L, An) ^ ^ Extn+1{RlL, A) = 0. По предложению 111.7.2 модуль An инъективен; по теореме l.gl.dim ft <n.
