Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Для любого многочлена р от xi показать, что др=^ ~ ® цг> ГДе
обозначает обычную частную производную. Показать непосредственно, что д2р — 0. Заметить, что др превращается в обычный дифференциал функции р от п переменных, если щ заменить символом dxt.
§ 8. Тождества для Нот и ®
Рассмотрим модули и бимодули над различными градуированными К-алгебрами Л, 2 и Q, которые с равным успехом могут быть DG-алгебрами. Функторы Нотл и ®л имеют унаследованные модульные структуры
2;Сл & Q-Лд =^>а[Нотд (С, Л)]2, sGa & л-^q =»> z(G <8> a-*4)q,
которые определяются для /: С ->-А равенством (to/a) (с) = = со [/ (ас)], а для g ®a равенством a (g ® a) to = ag ® aco, так же как в (V.3.2) и (V.3.1).
Имеется несколько естественных изоморфизмов для итерированных тензорных произведений. Так, изоморфизм
Л®л^ = Л СИ) (8.1)
задается отображением X ® a -v Ка. Закон коммутативности
G <2>лоР G, (Ga, аА) (8.2)
задается отображением g <g) а -*(—l)(des %)(&<-$ а)а q g Закон ассоциативности
a : А <8)л®а ®sQ = (-4 0л В) <8>z®q С. (Лл_а, ЛВ2, s-qC) (8.3)
§ 8. Тождества для Нош и®
251
задается отображением а 1а 0 (Ь 0 с)] = (а 0 Ь) 0 с; здесь ? 0х С рассматривается как левый Q-модуль с операторами (О (Ь 0 с) ~ (— J)(deg Ь) (dega)fy 0 ж Для того чтобы ПОКЭЗаТЬ, что отображение а определено корректно, заметим сначала, что при фиксированном а функция (а 0 Ь) 0 с билинейна и внутренне 2-ассоциативна по b и с. По теореме 5.2 для каждого а существует единственный гомоморфизм F (а): В <g>s С (А 0А В) ® ада С, при котором F (а) (Ь 0 с) — (а 0 Ь) 0 с. Функция F (а) (Ь 0 с) также билинейна и внутренне (Л 0 ?2)-ассоциативна по своим аргументам в А и В 0z С. Также в силу теоремы 5.2 существует •единственный гомоморфизм а, при котором а [а 0 (Ь 0 с)] = = (а 0 Ь) 0 с. Отображение, обратное к а, строится аналогично. Ассоциативный закон верен и в более простых случаях, например, ¦если опустить Q (в этом случае в (8.3) нужно положить Q = К). Общая формулировка закона коммутативности заключается в возможности производить внутреннюю четверную перестановку
т: (A <S>aB) ®л'®2' (С ®s-D) а*(Л 0а'С) 0a®z(B ®z'D), (8.4)
где изоморфизм т определяется для модулей ЛЛ_Л-, АВ^, л-Cs и s-s'D следующим образом:
т [(а ® Ь) 0 (с 0 d)] = (- l)(degb)(degc) (а 0 с) 0 (Ь 0 d).
Для DG-модулей все эти естественные изоморфизмы являются изоморфизмами DG-модулей над К, что можно проверить, показав, -что каждый из указанных изоморфизмов коммутирует с дифференциалом, который мы определили в 0V.
Для функтора НошА мы имеем естественный изоморфизм
Ношд(А, А)о*А, (ЛА), (8.5)
задаваемый отображением / -»-/ (1), и естественный гомоморфизм
К —> Ношл (А, А), (лЛ), (8.6)
задаваемый отображением 1к, в тождественный гомоморфизм 1а ' А -*-А.
Сопряженная ассоциативность — это естественный изоморфизм
г): HomQ_s (А ®л В, С) ^ HomQ_A (А, Нош2 (В, С)) (8.7)
для модулей яАЛ, и qCs, заданный для f:A0AB-*-C формулой [(т]/) а) Ь = f (а 0 Ь), совпадающей с формулой V (3.5) для случая колец. Для DG-модулей можно установить, что т] коммутирует с дифференциалами, заданными в области определения и в области значений; значит, т) — изоморфизм DGz-модулей над К.
В частности, выбирая циклы степени нуль в обеих частях (8.7),
252
Гл. VI. Типы алгебр
получаем естественный изоморфизм
homQ_s (А ®АВ, С) ш Ьош0_л (А Horns (В, С)), (8.8)
где, как и выше, horn с малой буквой «Ь» обозначает гомоморфизмы степени нуль всей DGz-структуры. В этом случае, поскольку в А нет элементов отрицательных степеней, Z-градуированный модуль Нош (В, С) из правой половины (8.7) может быть заменен градуированным модулем {Нот-71 (В, С); п = 0, 1, . . .}. Произведение гомоморфизмов порождает отображение
НошЛ (В, С) ®0Ношл(Л, В) —> Ношл {А, С), (Лл, аВА, СА), (8.9)
естественное по аргументам Л и С. Другой полезный естественный гомоморфизм задается Нот-®-перестановкой для модулей ЛВ, лА, а’В', а’А'-
?: Ногпл (В, А) ® Ношл- (В', Л')—>Нотл®л' (В ® В', А ® А'). (8.10)
Этот изоморфизм определяется для /: В ->¦ А и /': В' А' формулой
\Ъ (/ ® /')] (Ь®Ь') = (- 1 fegn(degb) jb ® f'b'.
В случае DG-модулей указанные гомоморфизмы будут гомоморфизмами DG-модулей.
Отметим некоторые особенности наших обозначений. В этом определении / ® /' обозначает типичный элемент тензорного произведения, указанного слева в (8.10). Раньше, в (2.2), мы использовали символ / ® /' для обозначения гомоморфизма В ® В' -»-Л ® А', записанного здесь как ? (/ ® /')• Смысл обоих символов / ® /' не одинаков, потому что I может иметь ненулевое ядро. Это противоречие не существенно; мы уже давно заметили, что тензорное произведение а ® Ь двух элементов имеет смысл только тогда, когда указаны модули, в которых лежат эти элементы, и может обратиться в нуль, если расширить один из этих модулей.
