Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Сопряженная ассоциативность естественна и поэтому порождает изоморфизм комплексов
rj: Нотл (X ® л С, А) ^ НошЛ-а (Я, Ношк (С, А)). (3.3)
Группы когомологий правого комплекса —это ExtA_A (Л, Ногпк (С, А)).
Рассмотрим группы когомологий левого комплекса. Поскольку « : X -*• Л есть проективная резольвента для Л как правого Л-модуля, гомология комплекса Х®ЛС есть Тогл (Л, С). Но алгебра Л сама по себе есть свободный правый Л-модуль, так что все группы Тог? (А, С) = О при п > 0 и поэтому комплекс Х®ЛС вместе се® 1: Х0 ®л С-*- А ®л С = С образует проективную резольвенту модуля ЛС. Следовательно, когомология этого комплекса над А, как показано в левой части (3.3), есть ExtA (С, А). Значит, т] индуцирует изоморфизм этих групп когомологий, что и утверждалось.
Этот изоморфизм может быть описан следующим образом в терминах длинных точных последовательностей.
Следствие 3.4. Для произвольной длинной точной последовательности S 6 ? ExtA (С, А), где п > 0, изоморфизм т] из (3.2) переводит класс последовательности S в класс последовательности
[Ношк (С, S)} т) (1 с) 6 6 ExtA_A (Л, Ношк (С, А)).
Доказательство. Сначала проанализируем выражение [Нот (С, S)] rj (1с). Поскольку 1с ?НотЛ (С, С) иг) : Ношл(С, С) = = Нотл (А ®л С, С)аШотЛ-л (Л, Нот (С, С)), г) (1с) есть отображение и: А ->¦ Нот (С, С) (фактически (ui) с = %с). Если последовательность
5 : 0 —> Л —» В„_! ->--------> В0 —> С О
точна и Нот — сокращение для Нотк, то Нот (С, S) — это последовательность
О -» Нот (С, А) -» Нот (С, Вп-0 • •
-----> Нот (С, В0) —> Нот (С, С) -> 0;
поскольку модуль С К-проективен, она является точной последовательностью Л-Л-бимодулей. Подействовав на эту последова-
270
Гл. VII. Размерность
тельность справа отображением ri (1с), мы получим длинную точную последовательность бимодулей, идущую от Нот (С, А) к Л, указанную в следствии.
Для применения канонического изоморфизма ?: Ext! {С,А) а* а* Нп (X ®л С, А) из (III.6.3) мы рассматриваем S как резольвенту модуля С, далее накрываем 1с цепным преобразованием / : X ®аСS и получаем ? (els S) как класс коцикла /„. Применим сопряженную ассоциативность; rjf : X -> Нош (C,S) накрывает т] (1с): Л —>• Нош (С, С), так что r\f «проходит» через цепное преобразование g: X [Нош (С, S)] rj (1с), накрывающее 1Л, причем rifn=gn> Значит, тц els fn = els gn, I (els S) = els fnr и (вновь по определению ?) получаем ? els [Нош (С, S) т] (1с)1 = = els gn, откуда вытекает наше утверждение.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Л — алгебра над полем, Р — проективный Л-Л-бимодуль и В — левый Л-модуль. Показать, что Р ® АВ — проективный левый Л-модуль.
2. Пусть как в следствии 3.4 Т 66 Ext^_A (Л, Нош (С, Л)) есть точная последовательность
Т : Нот (С, А) >-» Вп—i ^ Хп-2 ^ Xq-& А,
в которой все Xi — проективные] модули. Показать, что r|—i els Т — = els (е (Т ® ЛС)). где е — вычислительное отображение е : Нош (С, A) (g> ® С-+А.
3. Для алгебры Л над полем F, для ?2 = Л ® Л°Р и для модулей СА аА доказать, что Тог? (С, A) s Тог® (Л, А ® КС).
4. Для К-алгебры Л и 2, модулей Од и Л^2 и инъективного правого' 2-модуля J установить следующий изоморфизм («двойственность»; Кар-тан — Эйленберг [1956] VI.5), используя упражнение III.7.3:
Ext^ (G, Homs (A, J)) ss Homs (Tor? (G, Л), J).
§ 4. Глобальные размерности колец многочленов
Мы можем теперь вычислить глобальные размерности колец многочленов над полем.
Предложение 4.1. Если модули С и А над коммутативным кольцом К рассматриваются как модули над кольцом многочленов Р — К [дс], превращенные в Р-модули отступлением вдоль-е: Р -> К, где е (л;) = 0, то НошР (С, А) = Ношк {С, А) и при п > 0 существует изоморфизм Р-модулей
Extp (С, А) ^ Extl (С, А) @ Extjgf1 (С, А).
§ 4. Глобальные размерности колец многочленов
271
Здесь ExtK справа являются К-модулями и, следовательно, P-модулями относительно отступления.
Доказательство. Возьмем К-проективную резольвенту тр X -> С. Внешняя алгебра Е = ЕР [и\ определяет резольвенту е: Е К кольца К, состоящую из свободных P-модулей Е0 е* sz EiS* Р, с граничным гомоморфизмом д : Е± -> Е0, определяемым умножением на х. Теперь Р — свободный К-модуль, следовательно, таковыми являются Еи Е0, Я (Е) и модуль циклов в Е. В тензорной формуле Кюннета (теорема V. 10.1) утверждается, что Я (Е ® X) ^ Я (Е) ® Я (X), так что Я„ (Е ® X) = 0 при п> 0 и г ® г] : Н0 (?®Х) ^ К ® С = С. Значит, е <g> тр Е ® X -*¦ -*¦ С есть резольвента модуля С, состоящая из проективных Р-моду-лей. Следовательно, ExtP (С,А) — когомология комплекса Ношр (Е <g) X, А).
Теперь (Е <g> Х)„ = Е0 ® Х„ 0 ® X„_j ^ Р ® Х„ 0 Р<8>
® Xn_i, так что в силу сопряженной ассоциативности
НошР((? ® Х)„, A)s*
s* Homp (Р, Нош(Х„, Л))0НошР(Р, Нош(Хп-1, А)) ^
&Жот(Х„, Л)0Нош(Х„_1, Л).
Поскольку дифференциал д : ?i->?0 есть умножение на х, а Л и Х„ суть P-модули относительно отступления вдоль е, причем е (х) = 0, то эти изоморфизмы переводят кограницу из левой части в кограницу правой (индуцированную д в X). Этот изоморфизм коцепных комплексов устанавливает указанный изоморфизм (4.1).
