Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
246
Гл. VI. Типы алгебр
дующей главе; они будут широко использоваться в гл. X, для которой и проводится следующее систематическое исследование.
Положительный комплекс К-модулей X = (X, д) — это градуированный К-модуль X = {Хп}, снабженный таким К-модуль-ным гомоморфизмом д = дх : X X степени —1, что д2 = 0. Положительный комплекс можно поэтому назвать также дифференциальным градуированным моду мм (коротко: DG-модуль); гомология комплекса X — это градуированный К-модуль Н (X) = = {Нп (X)}. Цепное преобразование (другими словами, DG-модуль-ный гомоморфизм) /: X ->¦ X' — это такой гомоморфизм градуированных модулей степени 0, для которого дх- / = /дх. Множество всех таких гомоморфизмов / является абелевой группой hom (X, X'); вместе с этими морфизмами DG-модули образуют категорию. Аналогично произвольный комплекс К-модулей является дифференциальным Z-градуированным модулем (DGz -модуль).
Тензорное произведение X ® У двух DG-модулей — это тензорное произведение над К градуированных модулей X и У, снабженное дифференциалом д = дх ® 1 + 1 ® dY- Согласно определению (2.2) отображения 1 ®[ду, получаем
д(х® у)^дх® # + (— l)deg*A:® ду, (7.1)
что соответствует предшествующему определению (V.9.2) тензорного произведения цепных комплексов. Эго тензорное произведение DG-модулей удовлетворяет стандартным .естественным изоморфизмам (2.3), (2.4) и (2.5); в последнем случае основное кольцо К рассматривается как DG-модуль с тривиальной градуировкой и д = 0.
Для DG-модулей X и У наш Z-градуированный модуль Нот (X, Y) — {Нот" (X, У)} имеет дифференциал, определенный для каждого / 6 Нот" формулой dHf — dYf + (— l)n+1fdx, как и в'(II 1.4.4). Значит, Нот (X, У) будет DGz-модулем. Подчеркнем, что символ Нот (X, У), написанный с заглавной буквы «Н», обозначает множество всех гомоморфизмов градуированных модулей всех степеней, а символ hom (X, У) с маленькой буквой «Ь» обозначает только множество всех гомоморфизмов DG-модулей степени 0.
Далее, DG-алгебра U = (U, д) над К — это градуированная алгебра U, снабженная градуированным К-модульным гомоморфизмом д: U ->¦ U степени —1, для которого д2 = 0, причем справедлива формула Лейбница
д (иш) = (дид и2 + (- 1 )de8ui «1 (0«а). (7.2)
Аналогично гомоморфизм f : U ->~U' для DG-алгебр — это такой гомоморфизм градуированных алгебр (условие (3.3)), что df = fd. Вместе с этими гомоморфизмами DG-алгебры образуют категорию.
§ 7. Дифференциальные градуированные алгебры 247
Ввиду формулы Лейбница произведение двух циклов есть цикл, а произведение границы дщ на цикл и2 равно границе д (ui«2). Следовательно, произведение гомологических классов из Я (U) можно определить как (els и4) (els и2) = els (и±и2); это определение превращает Я (t/) в градуированную алгебру. Любой гомоморфизм DG-алгебр /: U -*¦(/' индуцирует гомоморфизм /*: Я (U) -> Я (?/') градуированных алгебр.
Тензорное произведение U (g> U’ двух DG-алгебр — это их тензорное произведение как градуированных алгебр, в котором дифференциал задается формулой (7.1). Имеет место аналог предложения 4.1. Алгебра С/ор, противоположная к DG-алгебре U,— это противоположная к U градуированная алгебра с тем же дифференциалом.
Левый U-модуль X = (X, д) — это левый модуль над градуированной алгеброй U, снабженный таким градуированным К-модульным] гомоморфизмом д: X X степени —1, что д2 — О, причем имеет место формула
д(их) = (ди)х + (~1)йевии(дх) (7.3)
для всех и их. Точно так же левый CZ-модуль X — это DG-модуль над К, снабженный гомоморфизмом DG-модулей U X -*¦ X степени 0 (записывается, как и®х~+их), для которого выполнены стандартные условия
(«1 + U2)X = UxX + U2X, U (Ху + Х2) = UXi + их2,
(UiU2)x = щ (U&), 1 х — х,
для всех и и х, подобные условиям диаграммы (5.1). Если X и У являются {/-модулями, то морфизм ? г X -> Y — это гомоморфизм всей структуры, т. е. гомоморфизм DG-модулей степени 0, который также является гомоморфизмом модулей над градуированной алгеброй U; другими словами, | — аддитивная функция и
5 (kx) = k (&), | (дх) = д (1х), 1(их) = и (?лг), deg (?лг) = deg л:. (7.4)
К-модуль всех таких отображений | записывается как homy (X, Y). Вместе с этими морфизмами левые {/-модули образуют категорию, в которой подмодули и фактормодули, ядра, образы, кообразы и коядра определяются как обычно. Правые {/-модули рассматриваются аналогично.
В этой категории мы определим бифункторы Ноши и ®у. Для U-модулей X и Y градуированный {/-модульный гомоморфизм /: X Y степени —п есть гомоморфизм X и У, причем последние рассматриваются только как модули над градуированной алгеброй U; другими словами, функция f аддитивна и
/ {kx) = k (fx), f {их) = и (fx), deg (fx) = degx — n, (7.5)
248
Гл. VI. Типы алгебр
но / может не коммутировать с д. Множество всех таких функций/является К-модулем Нот" (X, У). Семейство Homy (X, У) = = {Нот* (X, У)} становится DGz-модулем над К, если определить дифференциал да: Нот" ->¦ Нот"+1 обычной формулой
