Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4.2. Если коммутативное кольцо К имеет глобальную размерность /¦<«>, то кольцо многочленов Р = К [х] имеет глобальную размерность г + 1 (или оо, если г = оо).
Поскольку кольца К и Р коммутативны, мы можем опустить слово «левый» в l.gl.dim.
Доказательство. Пусть G — произвольный Р-модуль. Первые г членов свободной резольвенты G как P-модуля дают точную последовательность S : Gr >-» Уг_1 -»-•••-»- У0 G. Само кольцо Р и, значит, каждый модуль Уг являются также свободными К-модулями, поэтому из h.dimKG<gl.dim К = г следует, что К-модуль GT проективен. Для любого P-модуля Я мы имеем изоморфизмы
Extp-2 (G, Я) ^ExtJ>(Gr, Я) =?Extf>_p (Р, Horn (Gr, Я));
первый из них получен с помощью итерированного связывающего гомоморфизма последовательности S, а второй — с помощью сопря-
272
Гл. VII. Размерность
женной ассоциативности (теорема 3.3). Рассмотрим Р-бимодули крайнего правого члена как ЮаP-левые модули. Так как pop ^ р> то кольцо Р <2) Р°р э* Р ® К [у] изоморфно кольцу многочленов Р [у] от неизвестного у над Р. В частности, Р-Р-бимо-дуль Р становится Р [г/1-модулем, а вложение /: Р-> Р [у] удовлетворяет соотношению (/р) р'= рр'. Следовательно, из теоремы 2.2 (в которой К нужно заменить на Р и Р на Р [у]) следует, что h.dimP[y] Р = 1; это значит, что Extp_p (Р, —) = 0 и, следовательно, Ext?"2 = 0, т. е. gl.dim P*Cr + 1. С другой стороны, равенство gl.dim К = г означает, что существуют К-модули С и А, для которых Extj^C, А) Ф 0. По предложению 4.1 Ext^+1 (С,Л) ^ Ext? {С,А) Ф 0, так что gl.dim Р не меньше г + 1. Последнее рассуждение устанавливает также результат, сформулированный для г — со.
Следствие. 4.3. Глобальная размерность Z [хи . . ., хп] равна rt + 1.
Следствие 4.4. Глобальная размерность кольца многочленов Р = PF Ui, . . ., хп] от п неизвестных над полем F равна п. Если J—произвольный идеал в Р, то h. dimP/<n—1.
Доказательства требует лишь утверждение об идеале J. Любая проективная резольвента идеала J порождает точную последовательность
0 —> Сп-1 —> Хп-2 —> • • • —> Хо —> J 1—> 0
P-модулей, в которой модули Xt проективны. Перемножение этой последовательности и последовательности J >-» Р PIJ дает точную последовательность с п промежуточными модулями, оканчивающуюся членом Р/J. Поскольку п — глобальная размерность кольца Р, h.dimРР//<п, так что в силу характеристики гомологической размерности (теорема 1.1) модуль Сп-1 проективен. Этим доказано, что h.dimP — 1.
§ 5. Сепарабельные алгебры
Рассмотрим теперь приложения (неградуированных) алгебр Л в классической теории. Напомним, что 1Л обозначает единичный элемент алгебры Л.
Предложение 5.1. Следующие условия для алгебры Л .эквивалентны:
(i) h. dim(A8AoP) Л = 0;
(ii) Л есть проективный А-бимодуль;
§ 5. Сепарабельные алгебры
273
(iii) отображение умножения я : Л ® Л А имеет бимо-дульное обратное справа отображение-,
(iv) существует такой элемент е ? Л ® А, что яе = 1л и %е = е% для всех К.
В этом параграфе мы будем отмечать выполнение этих эквивалентных свойств записью bidim Л = 0 (т. е. словами: «гомологическая размерность алгебры Л как Л-бимодуля равна нулю»).
Доказательство. Свойства (i) и (ii) эквивалентны по определению гомологической размерности. В (iii) отображение умножения я (А, ® [г) = А,[г является эпиморфизмом А-бимоду-лей. Если А — проективный бимодуль, то это отображение расщепляется бимодульным гомоморфизмом а: Л -> А ® А, где яа= 1; этим доказано, что (ii) =ф (iii). Обратно, если яа = 1, то Л есть бимодульное прямое слагаемое свободного бимодуля А® А и, следовательно, проективный Л-бимодуль. Если яа = 1, то для элемента а1л = е ? Л® Л получаем пе = 1Л, поскольку а — бимодульный гомоморфизм, ак = Хе = еК. Обратно, элемент е с этими свойствами определяет подобный гомоморфизм а.
Теперь мы исследуем вопрос о сохранении свойства bidim А == = 0 относительно трех стандартных конструкций для алгебр: прямых произведений, расширения основного кольца и образования полных матричных алгебр.
Прямое произведение двух К-алгебр Г и 2 является К-алгеб-рой А — Гх2; как К-модуль она является прямой суммой Г @ 2, причем ее элементы —это все пары (7, ст); перемножаются эти пары по правилу
(Y. а ) — (YY > о&); (5.1)
единичный элемент этой алгебры — это пара (1г, Is)- Проекции jt4 (у, а) = у и я2 (у, а) — а являются гомоморфизмами алгебр
Г?-Гх2Д2 (5.2)
(вложения ii, i2 не будут гомоморфизмами алгебр, так как они не отображают единицу в единицу). Относительно этих отображений алгебра Гх2 коуниверсальна для Г и 2 в категории алгебр. В этом причина того, что мы называем Гх2 прямым «произведением», хотя эта алгебра часто называется прямой «суммой» Г и 2.
Любой Г-бимодуль становится (Г х 2)-бимодулем при отступлении вдоль я4 (с обеих сторон); аналогично любой 2-бимодуль или любой (Г-2)-бимодуль становится (Гх 2)-бимодулем. В частности, определение (5.1) показывает, что алгебра Л= Гх 2, рассматриваемая как Л-бимодуль, есть прямая сумма Г@2 Л-бимодулей Г и 2. Поскольку тензорное умножение аддитивно,
