Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
18-353
274
Гл. VII. Размерность
A ® Л= (Г 0 2) © (Г© 2) есть прямая сумма четырех А-бимо-дулей
А ® А а* (Г ® Г) © (Г ® 2) © (2 ® Г) 0 (2 ® 2). (5.3)
Предложение 5.2. Если для алгебр Г и 2, bidim Г == = 0 = bidim 2, то bidim (Г X 2) = 0.
Доказательство. При выполнении условий в силу предложения 5.1 (iii) имеются такие бимодульные отображения аг : Г -> Г ® Г и а^ : 2 ->• 2 ® 2, что яаг = 1 и rtas ==¦ 1. Они являются также отображениями А-бимодулей и, следовательно, дают комбинированный гомоморфизм аг © as : Г © 2 ->-(Г ® Г) © (2 ® 2), умножение которого на вложение из (5.3) порождает А-бимодульное отображение a : А ->¦ А ® А. Поскольку вложения Г ® Г -> А ® А и 2 ® 2 -> А ® А сохраняют произведение, яа = 1, что и требуется для равенства bidim А = 0.
Расширение основного кольца — это процесс перехода от алгебр над коммутативным основным кольцом К к алгебрам над новым основным кольцом R, причем предполагается, что R — коммутативная алгебра над К. Если А есть К-алгебра, то /?®А есть кольцо (как тензорное произведение колец) и R-модуль (структура которого унаследована от левого множителя); поскольку алгебра R коммутативна, R ® А есть алгебра над R. Эту алгебру мы обозначим Ая (обычное обозначение Ал; однако оно противоречит нашему предшествующему обозначению для ^-модулей).
Предложение 5.3. Если bidim А = 0, то bidim AR = 0.
Доказательство. Наш Ая-бимодуль Ая ®л AR = = (R ® А) ®я {R ® А) изоморфен R ® А ® А, и этот изоморфизм можно задать соответствием (г ® Я) ® (s ® ц.) ->rs ® Я ® [х. Если элемент е = 2цг ® v; ? А® А обладает свойством (iv) из предложения 5.1, примененного к алгебре А, то можно проверить, что элемент е' — 2 1 ® ja* ® v, имеет соответствующие свойства для AR.
Расширение основного кольца полезно в классическом случае алгебр А конечной размерности (как векторных пространств) над полем F. Любое поле L гэ F можно рассматривать как коммутативную алгебру над F, так что AL — алгебра над L. Если А имеет F-базис ии ¦ ¦ •, ип, то умножение в А определяется равенством utuj = 2ь/ь и* при помощи п3 констант ftf ? F. Расширенная алгебра Аь является векторным пространством над L с базисом 1 ® т, i = 1, • • •, п, и с теми же структурными константами /*>. В этом случае мы имеем обращение последнего предложения.
§ 5. Сепарабельные алгебры
275
Предложение 5.4. Если А — алгебра над полем F и если R — коммутативная алгебра над F, то из того, что bidim Лн = О, смдует, что bidim Л = 0.
Доказательство. Если ® обозначает ®р, то отображение умножения для Ля эквивалентно эпиморфизму (1 ® я) : R <g) (g) Л ® Л ® Л для Ля-бимодулей; по условию он имеет правый обратный а, который является отображением Лк-бимоду-лей. Поскольку имеется гомоморфизм F-алгебр / : А Ан, определяемый равенством j (Я) = 1 (g) X, каждый Ая-бимодуль отступлением вдоль / превращается в Л-бимодуль; в частности, мы можем рассматривать a: R <g> Л —(g) Л ® Л как отображение Л-бимо-дулей.
Далее, R — это векторное пространство над полем F; выберем в R базис с первым элементом 1н- Если т] отображает 1л в lF, а остальные базисные элементы в нуль, то Jtу R -*¦ F является /•’-модульным гомоморфизмом, произведение которого с вложением i: F -+-R равно единице. Теперь построим диаграмму
F ® Л —Л R(g>A-%*R(g)A®A Р®Л®Л=-Л®Л
II
Л R ® Л F ® Л = Л.
Квадраты этой диаграммы коммутативны; произведение отображений верхней строки — это произведение Л-бимодульных отображений и, следовательно, это бимодульное отображение а' : Л -*-Л <g> Л. Поскольку (1 <g> я) а = 1 и тц = 1, диаграмма показывает, что па' = 1, так что bidim Л = 0 в силу (iii) из предложения 5.1.
Процесс расширений основного кольца включает также процесс «редукции по модулю простого числа р». Действительно, кольцо Zp вычетов по модулю р можно рассматривать как коммутативную алгебру R над Z. Для произвольной Z-алгебры Л Azp — это алгебра Л, «редуцированная по модулю р».
Полная матричная алгебра Мп (F) над полем F состоит из всех пхп матриц из элементов поля F с обычным произведением; как векторное пространство над F она имеет базис, состоящий из матриц е,и i, j = 1, . . ., п. Здесь еи —это матрица с 1 на пересечении i-й строки и /-го столбца и с нулями на остальных местах. Умножение определяется равенствами ецв^ — eik и eiTesh = О при г Ф s. Если L гэ F — большее поле, то [Мп (F)]L ^ Мп (L).
Предложение 5.5. Для любого поля F имеем bidim Mn(F) = 0. ...
18*
276
Гл. VII. Размерность
Доказательство. Для элемента е = 2еа ® еи из Мп (F) ® Мп (F) имеем ле = 2егг = 1м и e,e е — eTi ® eis = = ееГ8, так что он удовлетворяет условиям (iv) предложения 5.1.
Алгебра Л над полем F полупроста (см. § 1), если каждый левый A-модуль проективен. Если bidim Л = 0, то алгебра Л полупроста: для любых левых Л-модулей С и А теорема 3.3 дает изоморфизм
Ех1л(С, i4)^ExtA_A(A, Нош (С, А)),
так что модуль ExtA (С, —) равен нулю и С — проективный левый Л-модуль.
Алгебра Л над полем F называется сепарабельной, если для каждого поля расширения L zd F алгебра AL полупроста. По предложению 5.5 каждая полная матричная алгебра сепарабельна. Легко видеть, что прямое произведение сепарабельных алгебр сепарабельно. Обратно, структурная теорема Веддербарна утверждает, что для каждой сепарабельной алгебры А конечной размерности над полем F существует такое поле расширения L поля F (имеющее фактически конечную размерность как векторное пространство над F), что AL есть прямое произведение конечного числа полных матричных алгебр. Предполагая известным этот результат, мы докажем следующую теорему.
